Исследование функций с помощью производных

Перечислим правила, позволяющие, используя связь между свойствами функций и свойствами их производных, применять производные для исследования функций и построения графиков.

Интервалы монотонности

Определение 7.7. Значения аргумента, при которых, производная равна нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки непрерывности функции, в которых производная не существует, называются критическими точками.

Критические точки и точки разрыва разбивают область определения функции на интервалы положительности и отрицательности производной.

Правило 7.1. На интервале положительности производной функция возрастает, а на интервале отрицательности производной — убывает.

Правило 7.2. В критической точке, отделяющей интервал возрастания от интервала убывания, функция имеет максимум; если же интервалы монотонности расположены в обратном порядке, то в граничной точке — минимум.

Для доказательства первого правила воспользуемся формулой конечных приращений:

Полагая, что точки х и х + kx принадлежат интервалу, во всех точках которого производная положительна, замечаем, что знаки приращений аргумента и функции совпадают, а это и означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. на данном интервале функция возрастает. Аналогично устанавливается, что на интервале отрицательности производной функция убывает.

Второе правило вполне очевидно.

Геометрическая иллюстрация приводится на рис. 7.5.

Рис. 7.5.

Здесь (я, с),(с, d),(d, Ь), соответственно, интервалы возрастания, убывания, возрастания; Знак производной — «плюс» или «минус» — определяет острый или тупой угол наклона касательных к оси Ох на каждом из интервалов монотонности. В критических точках cud функция достигает соответственно максимума и минимума. Первая из этих точек угловая — в ней производная не существует, поэтому в этой точке касательной нет. Вторая из этих точек — стационарная, в ней производная равна нулю, поэтому касательная — горизонтальная.

Замечание. Наибольшее М и наименьшее т значения функции, непрерывной на отрезке (которые она принимает согласно теореме Вейерштрасса, гл. 6), находят, определив предварительно все максимумы и минимумы функции на отрезке и выбрав затем наибольшее и наименьшее из этих чисел, двух значений на концах отрезка.