Равномерно наиболее мощные критерии

Рассмотрим выборку Х,…, х" из совокупности, имеющей распределение вероятностей (или плотность распределения вероягностей)/(х| 0), причем неизвестный параметр 0 е Q₀— Q е R'. Нам необходимо проверить гипотезы Я₀: 0 е ?2₀;

Н_{: 0 е Q, где Q₀ П ?2! = 0, ?2₀ U ?2, = ?2.

Будем в дальнейшем предполагать, что множество Q, содержит, по крайней мере, два различных значения 0, так что гипотеза II является сложной, нулевая гипотеза Я₀ может быть либо простой, либо сложной.

Будем также предполагать, что гипотезы проверяются на уровне значимости а₀. Другими словами, будем рассматривать только критерии, для которых Р{отвергнуть Я₀| 0} < а₀ для V0 е Qq. Если 7 г (0 18) обозначает функцию мощности данного критерия, то предыдущее утверждение можно просто записать в виде л (018) < а₀ для 0 е П₀.

Будем искать критерий 8, для которого а (8) < cto, и л (0|8) при 0 g Q] принимает наибольшее значение. Возможно, что такого критерия и не существует. Например, если 0_t и 0₂ — два различных значения из П_1? то критерий, для которого тг (0118) принимает максимальное значение, может быть отличным от критерия, при котором тс (0₂|8) принимает максимальное значение. Другими словами, может не существовать одного критерия, при котором функция мощности принимает максимальное значение одновременно для всех значений 0 из Однако если такой критерий существует, то он называется равномерно наиболее мощным критерием (или сокращенно РНМ-критерием).

Определение. Критерий 8* среди всех критериев уровня oto называется равномерно наиболее мощным критерием для гипотезы #о относительно гипотезы Н если, а (8*) < ао и для любого критерия 8 такого, что а (8) < а₀, справедливо неравенство л (018) < л (018*) для всех 0 е Q_1#

Покажем, что РНМ-критерий существует для многих стандартных распределений, рассматриваемых в курсе.