Пифагорейская теория соизмеримых величин

Теперь рассмотрим математические открытия, которые приписываются Пифагору. Но сначала расскажем немного о его биографии. «Пифагор, родившийся около 590 г. до н.э., был сперва учеником Фалеса, который посоветовал ему поехать в Египет, где Пифагор принял посвящение в таинства жрецов, чтобы познать глубины их учения»^[1]. Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его нс увел в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 г. до н.э. В Вавилоне Пифагор пробыл еще 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

Из этого краткого жизнеописания Пифагора вполне очевидно, что все свои знания Пифагор приобрел не в Греции, а в Египте и Вавилоне.

Согласно Эвдему, пифагорейцы прежде всего «придали геометрии характер настоящей науки, благодаря тому что Пифагор рассматривал принципы ее с возвышенной точки зрения и, так сказать, исследовал теоремы ее более интеллектуальным и нематериальным образом; кроме того, он открыл иррациональные величины и построение космических фигур (правильных многогранников)»^[2].

Таким образом, Пифагор вполне занимался научной деятельностью, ибо осознавал ее основания и высшие цели. Для математики первоэлементов такой целью могло быть божественное, т. е. пять первоэлементов. Постараемся показать, что математическая деятельность Пифагора и ранних пифагорейцев так же, как и деятельность Фалеса, была направлена на построение правильных многогранников.

Пифагорейцы исходили из существования трех кардинально различных видов величин: соизмеримые величины, соизмеримые в степени величины и несоизмеримые величины. Вот какое определение дает этим величинам Евклид в «Началах»:

«1. Соизмеримыми величинами называются измеряемые одной и той же мерой, несоизмеримыми же — для которых никакая общая мера не может быть образована.

• 2. Прямые являются соизмеримыми в степени, если квадраты на них измеряются одной и той же площадью, несоизмеримыми же, если для квадратов на них не может быть образована никакая площадь как общая мера.
• 3. При этих предложениях доказывается, что для заданной прямой существует бесконечное количество прямых как соизмеримых, так и несоизмеримых, причем некоторые соизмеримы или несоизмеримы только линейно. Другие же и в степени. Назовем теперь заданную прямую рациональной, а соизмеримые с ней, как и линейно и в степени, так и только в степени, будем называть рациональными, несоизмеримые же с ней — иррациональными.
• 4. И назовем квадрат на заданной прямой рациональным, и все площади с ним соизмеримые, рациональными, несоизмеримые же с ним — иррациональными, и линии, их квадрирующие, — иррациональными, причем если эти площади являются квадратами, то самые стороны, если же какиминибудь иными прямолинейными фигурами, то линии, на которых строятся равные им квадраты"^[3].

Под квадрирующими линиями Евклид здесь понимал квадратные корни из этих площадей. Вся пифагорейская теория, которая будет изложена ниже, иллюстрирует и поясняет это фундаментальное определение.

Соизмеримыми величинами занимается арифметика. Соизмеримыми в степени величинами занимается алгебра в широком смысле этого слова, включающем и геометрическую алгебру решения конечных степенных уравнений. Несоизмеримые величины описываются методами математического анализа и положениями математического атомизма. Для построения правильных многогранников достаточно уравнений первой и второй степени, а также систем таких уравнений. Поэтому для математики первоэлементов вполне достаточно построения теории уравнений этих двух степеней. Исходя из этих общематематических установок пифагорейцы осуществили разработку этого учения.

Уравнения первой степени выражали любую рациональную и иррациональную величину в виде длины прямолинейного отрезка. Здесь также могут быть использованы арифметические прогрессии. Разные величины могут быть выражены разными уравнениями с целыми или рациональными коэффициентами, причем последние могут быть сведены обратно к целым числам.

Рассмотрим основные положения пифагорейской арифметики. «Число для пифагорейцев — это собрание единиц, т. е. только целое положительное число. Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые пифагорейцы располагали в виде правильных геометрических тел, получая ряды „треугольных“, „квадратных“, „пятиугольных“ и других „фигурных“ чисел. Каждый такой ряд представляет последовательные суммы арифметической прогрессии с разностями 1, 2, 3 и т. д.»^[4]

Итак, соизмеримые величины пифагорейцы изображали в виде чисел, состоящих из единиц. Согласно пифагорейскому учению существовало три вида соизмеримых величин: простые (линейные) числа, плоские числа и телесные числа.

Простые числа наиболее ценились пифагорейцами, ибо они не состояли из частей. Каждое простое число в этом отношении уподоблялось неделимой единице, ибо тоже было неделимо на части.

Следующим видом соизмеримых величин были плоские числа. Таковыми пифагорейцы признавали числа, которые можно было представить как произведение двух чисел. Плоские числа как одна из разновидностей фигурных чисел имеют наглядное геометрическое выражение. Таковы, например, треугольные числа, состаляющие следующую последовательность: 1,1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6,1 + 2 + 3 + 4 = 10,…, 1+2 + 3 + … + я = п (п + + 1)/2. Очевидно, что они являются частными суммами ряда чисел, составляющих арифметическую прогрессию с разностью 1. Указанную последовательность можно представить двумя различными способами. Первый способ представляет ее как точки на прямой. Первая точка находится на единичном расстоянии от точки отсчета, вторая точка — на расстоянии в три единицы, третья точка — на расстоянии шесть единиц и т. д. В рамках второго способа данную последовательность можно представить как прямоугольный треугольник, являющийся половиной квадрата (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Сам же квадрат является одним из способов представления другого вида плоских чисел — квадратных чисел. Эту числовую последовательность можно записать следующим образом: 1,1+3 = 4, 1+3 + 5 = 9, 1 + + 3 + 5 + 9 = 16, …, 1 + 3 + 5 + … + (2п — 1) = п². Опять же эту иоследовательность чисел можно выразить через посредство расположения точек на числовой прямой, где первая точка находится на единичном расстоянии от точки отсчета, вторая точка — на расстоянии в четыре единицы, третья точка — на расстоянии девять единиц и т. д. Разность между членами арифметической прогрессии (нечетными числами), порождающей «квадратные числа», равна 2. А разности между самими «квадратными числами» равны последовательности нечетных чисел.

Теперь следует сказать несколько слов о том, что эти последовательности чисел (треугольные и квадратные числа) использовались атомистом Галилеем для представления равномерного и равноускоренного движения. И Галилей использовал как раз такие же геометрические представления этих движений. В произведениях самого Галилея неоднократно упоминались пифагорейцы, причем Галилей пытался представить свой атомизм как продолжение пифагорейской традиции в противовес аристотелевской (перипатетической) традиции.

В истории философии существует устойчивое представление о разделении внутри пифагорейцев. Отсюда возникло представление о том, что философия Демокрита произошла от «так называемых пифагорейцев». Для этого взгляда можно найти некоторое основание. Ведь и Пифагор, и Демокрит предположительно обучались у вавилонских халдеев, поэтому атомистическая традиция также могла передаваться через пифагорейцев, ибо те были знакомы с методами вавилонской планетной астрономии. Думается, что эти «так называемые пифагорейцы» строили, как классические пифагорейцы, теорию соизмеримых и соизмеримых в степени величин, но потом делали еще один шаг. Это была попытка построить теорию несоизмеримых величин. И здесь они естественно смыкались с атомизмом, который занимался вопросами именно несоизмеримых иррациональностей. Этот путь и избрал Галилей, чтобы избежать обвинений в атомизме.

К плоским числам относится известнейшее пифагорейское учение о четных и нечетных числах, ибо четные числа могут появиться, только начиная с плоских чисел.

Пифагорейцы излагали всю теорию четных чисел только с одной целью — построить совершенные числа. Совершенными числами пифагорейцы называли такие числа, которые равны сумме своих делителей (исключая само число). Таким числом является 6 = 1 + 2 + 3 или 28 = 1 + + 2 + 4 + 7+14.

Предназначение совершенных чисел раскрывается при построении правильных многогранников в «Началах» Евклида. Но вернемся к четным и нечетным числам.

«Основной результат учения о четных и нечетных числах можно сформулировать так: произведение двух чисел делится на 2 (т.е. четно) тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей делится на 2. Отсюда следует, что любое целое число N можно однозначно представить в виде N= 2Wj, где iV, нечетно… После изложения учения о четных и нечетных числах в „Началах“ доказывается (IX, 36), что если 1 + 2 + … + 2″ = = р — простое число, то 2^пр будет числом совершенным. Доказательство этого предложения можно провести, опираясь только на учение о четных и нечетных числах. Вполне вероятно, что оно восходит к пифагорейцам»¹.

Само предложение 36 книги 9 звучит следующим образом: «Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении, до тех пор пока вся их совокупность сложенная не сделается первым числом и вся совокупность, умноженная на последнее число, произведет что-то, то возникающее число будет совершенным»^[5]. Использование геометрической прогрессии вида 1 + 2 + … + 2^п также весьма примечательно. Использование прогрессии при построении совершенных чисел являются одной из существенных причин появления таких прогрессий в математике в принципе.

Плоские числа содержат в своих общих формулах квадраты величин. Так, треугольные числа можно выразить через формулу 1 + 2 + 3 + … + и = = п (п + 1)/2 = (п^[5] + п)/2, квадратные числа — 1+3 + 5 + … + (2 п — 1 ) = п^[5]> а пятиугольные числа — 1+4 + 7 + … + (3 п — 2) = п (3п — 1)/2 = (3 п^[5] — п)/2. Хорошо видно, что эти соотношения содержат квадраты, поэтому значение суммы находится с помощью квадратного уравнения. Это элементарные квадратные уравнения в случае, когда все числа целые. Для того чтобы понять смысл квадратных уравнений в элементарном случае целого корня, воспользуемся рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Запишем сторону квадрата в виде (3 + х) и теперь распишем квадрат: (3 + х)^[5] = З^[5] + 2 • Зх + х^[5]. Теперь положим х = 4. Подставим в наше уравнение и получим:

Теперь опять превратим 4 в х. Вместо 24 получаем 2 • Зх, а вместо 16 имеем х^[5]:

История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 69.

Это есть общее уравнение вида ах² + Ьх + с = 0.

Вычисляем дискриминант этого уравнения: D² = Ь² — Аас. В нашем случае D² = 6² — 4 • 1? (-40) = 196. Отсюда, следует, что D = 14. Теперь вспомним формулу для вычисления х. Эта формула такова: х₁₂ = ^ ~ ^ ?

2 а

Отсюда х = 4.

К плоским числам относятся целочисленные решения теоремы Пифагора. Неопределенное уравнение вида х² + у² = z² решается в целых числах с помощью формул х = /2(т² — 1), у = т, z = ½(т² +1). Эти решения называются пифагоровы тройки. Но, естественно, теорема Пифагора имела основное значение для решения соизмеримых в квадрате величин. Об этом подробнее будет рассказано в следующем параграфе.

Теперь разберем последний вид соизмеримых величин — телесные числа. Это числа, разлагающиеся на три сомножителя. Самыми известными видами телесных чисел являются кубические и пирамидальные числа. Кубические числа имеют вид 1, 8, 27, …. Общий вид кубических чисел — /г³. Вид пирамидальных чисел таков: 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 6=10,…, 1 + 3 + 6 + … + п (п + 1)/2 = п (п + 1 ){п + 2)/(2 • 3) = (л³ + 3п² + 2я)/6. Исследование этих чисел производится с помощью элементарных кубических уравнений вида ах³ + Ьх² + сх + d = 0.

• [1] Лаплас П. С. Изложение системы мира. М" 1982. С. 265.
• [2] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в Средние века. С. 37.
• [3] Евмид. Начала. Книги VII-X. М.; Л., 1949. С. 101.
• [4] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 68.
• [5] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.
• [6] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.
• [7] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.
• [8] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.
• [9] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.
• [10] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.
• [11] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.
• [12] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 98.