Методы гармонического анализа сезонности

Рассмотрим в заключение параграфа некоторые вопросы применения гармонического анализа при исследовании и моделировании сезонных колебаний в экономике. Если изменение какого-либо показателя носит периодический характер, то такому изменению соответствует периодическая функция Фурье. Сезонная волна представляет собой синусоидальную функцию с периодом один год; разложение таких функций в тригонометрический ряд Фурье носит название гармонического анализа, и аналитической формой сезонной волны служит тригонометрический многочлен вида.

(4.19).

В этом многочлене k — порядковый номер гармоники ряда Фурье; т — число гармоник; t — время, принимающее значения 0, 2?/п, 2 • 2?/n (п — 1) • 2?/n (для месячных данных п = 12); параметры а0, ak, bk находятся в соответствии с методом наименьших квадратов и задаются следующими соотношениями:

На практике при выравнивании данных сезонных процессов по ряду Фурье рассчитывают нс более четырех гармоник, а затем определяют, при каком числе гармоник наилучшим образом отражается периодичность изменения уровней ряда. Следует иметь в виду, что увеличение числа гармоник, с одной стороны, увеличивает точность аппроксимации, а с другой — может уменьшить значимость модели в результате увеличения дисперсии.

где р — число определяемых параметров аппроксимирующего уравнения (4.19).

Пример 4.3. Покажем процесс выравнивания сезонных колебаний по ряду Фурье на условных месячных данных о численности персонала фирмы, связанной с переработкой сельскохозяйственной продукции. Исходные данные, а также произведения уt • cost, yt • sint и уt • sin2t, необходимые для определения параметров сглаживающих уравнений по первой и второй гармоникам, приведены в табл. 4.8.

Таблица 4.8

Месяц.	t	Численность персонала уt, чел.
			750,00.		750,00.
	?/6.		640,84.	370,00.	370,00.	640,84.
	?/3.		405,00.	701,46.	— 405,00.	701,46.
	?/2.			840,00.	— 840,00.
	2?/3.		— 495,00.	857,34.	— 495,00.	— 857,34.
	5?/6.		— 1039,20.	600,00.	600,00.	— 1039,20.
			— 1280,00.		1280,00.
	7?/6.		— 1073,84.	— 620,00.	620,00.	1073,84.
	4?/3.		— 575,00.	— 995,90.	— 575,00.	995,90.
	3?/2.			— 990,00.	— 990,00.
	5?/2.		440,00.	— 762,08.	— 440,00.	— 762,08.
	11?/6.		727,44.	— 420,00.	420,00.	— 727,44.
		11 710.	— 1499,76.	— 419,18.	295,00.	25,98.

Решение. На основе данных этой расчетной таблицы находим:

Таким образом, аппроксимирующий многочлен Фурье с учетом только первой гармоники имеет вид.

а с учетом и второй гармоники.

Выровненные значения численности персонала ширмы по обоим сглаживающим уравнениям, а также данные для расчета дисперсий аппроксимации приведены в табл. 4.9.

Таблица 4.9

Месяц.
		725,83.	775,00.	584,19.	625,00.
		724,44.	752,77.	242,11.	163,07.
		790,35.	769,52.	386,12.	1638,63.
		905,97.	856,80.	4352,04.	282,24.
		1040,31.	1011,98.	2531,10.	483,12.
		1157,36.	1178,19.	1818,17.	475,68.
		1225,79.	1274,96.	2938,72.	25,40.
		1227,23.	1255,56.	163,07.	242,11.
		1161,31.	1140,48.	127,92.	90,63.
		1045,70.	996,53.	3102,49.	42,64.
		911,36.	883,03.	983,45.	9,18.
		794,30.	815,13.	2088,49.	618,52.
	11 710.	11 709,95.	11 709,95.	19 317,87.	4696,22.

Из этих расчетов следует, что дисперсии аппроксимации для двух приведенных выше сглаживающих уравнений равны соответственно.

Соответствующие значения средних квадратических отклонений (стандартных ошибок) аппроксимации равны и . Следовательно, лучшим аппроксимирующим тригонометрическим многочленом из двух рассмотренных является многочлен с первой и второй гармониками.

Зная эмпирические и теоретические значения численности персонала, можно определить индексы сезонности для изучаемого показателя, т. е. сезонную волну:

Таким образом, для первого месяца J1 = (775,00/975,83) • 100% = = 79,42%, для второго J2 = (752,77/975,83) • 100% = 77,14% и т. д. но месяцам года. График сезонной волны исследуемого показателя представлен на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Сезонная волна численности персонала фирмы.