Гармонические колебания. 
Механика

Конкретная зависимость координаты от времени УУ_п(4) имеет вид.

колебание называется гармоническим. В этом случае обобщенная сила равна , и уравнение движения принимает вид.

Величина я — я₀ определяет смещение относительно положения равновесия (нижней точки потенциальной ямы). Если начало отсчета для координаты совместить с этой точкой, то я₀ будет равно нулю, и мы получим уравнение

Обратите внимание. При потенциальной энергии вида (4.3) обобщенная сила есть линейная функция смешения и направлена к положению равновесия. Это также критерий гармоничности колебаний. (Уравнение вида х" (/) + со²х (/) = 0 (вторая производная функции пропорциональна самой функции с обратным знаком) называется уравнением колебаний. Общий вид функции, удовлетворяющей этому требованию (общее решение уравнения (4.5), имеет вид *(/) = /Jsin (to/ + ф), где А, ф — произвольные константы.).

Решение уравнения (4.5) имеет вид.

Константа А называется амплитудой колебания, величина о — угловой частотой, аргумент у синуса — фазой, ф — начальной фазой (значение фазы при / = 0). Время Т = 2я/а) называется периодом колебания (это время, за которое система возвращается в исходное состояние).

При гармонических колебаниях закон сохранения энергии принимает вид.

Задача 4.2. Две частицы массами /я, /и₂, связанные невесомым стержнем, могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через точку О (рис. 4.3). Найти закон движения системы.

Рис. 4.3.

Решение. В качестве обобщенной координаты выберем угол отклонения, а от вертикали. При повороте da частица т_х проходит путь as_x = /*j da, при этом сила тяжести совершает работу 8A_t = -m_xgsina • r_x da. Аналогично 5у4₂ = -m₂gsinar₂da. Сила реакции опоры в точке О работы не совершает. Таким образом, полная работа внешних сил 5 А — (m₂r₂ — m_xr_x)g sina • da. Множитель перед da в этом выражении представляет обобщенную силу Q (a), которая, как видим, зависит от координаты. Потенциальная энергия

При m_xr_x > m₂r₂ потенциальная энергия имеет минимум при, а = 0. Максимального значения потенциальная энергия достигает при, а = л и W_n(n) = (т, г, — m/₂)g. Если полная энергия Е < И'(я), система оказывается в потенциальной яме и совершает колебательное движение в пределаха₀ < а? а₀, а₀ < п.

Кинетическая энергия системы

так что р = /я,/*,² + т/₂². Закон сохранения энергии позволяет найти величину скорости a при любом а, но зависимость а (/) не представляется элементарными функциями. Однако при малых углах отклонения решение находится. Известно, что при, а 2/2, и формула для потенциальной энергии приобретает вид.

Постоянное слагаемое в правой части этого равенства можно опустить (оно не влияет на обобщенную силу), и мы получаем выражение типа (4.3), причем к = (т, г, — m₂r₂)g. Таким образом, в этом случае система совершает гармоническое колебание по закону.

Обратите внимание. Величина р представляет момент инерции системы относительно оси вращения, а обобщенная сила — момент внешних сил относительно этой же оси. Если положить т₂ = 0, мы получим математический маятник.

Результат предыдущей задачи показателен. Потенциальная яма, как правило, не имеет вида (4.3), но вблизи минимума большинство функций аппроксимируется параболой. Физически это соответствует тому, что система при малых отклонениях от положения равновесия совершает гармоническое колебание.

Задача 4.3. Система, описанная в предыдущей задаче, отклонена на малый угол а₀ и отпущена. Чему равна кинетическая энергия системы по прошествии времени /,?

Решение. Нужно найти величину a как функцию времени. Началу движения системы припишем значение / = 0. Общий закон движения системы дается формулой (4.6). Конкретное движение задается подбором констант А, ср. Они определяются начальными условиями. Имеем: а (0)= а₀, а (0) = 0. Это дает уравнения а₀ = /isincp, 0 = Л со cos <�р. Отсюда ср = я/2, А = а₀. Таким образом,.

Для энергии получаем.

Задача 4.4. Определить частоту колебаний системы, изображенной на рис. 4.4. Радиус диска /?, момент инерции диска /, жесткость пружины к, масса груза т.

Рис. 4.4.

Решение. В качестве обобщенной координаты <7 выбираем удлинение пружины х, отсчитываемое от состояния нерастянутой пружины. Кинетическая энергия системы (груз, нить, блок) — энергия груза и блока:

Работа внешних сил при смещении с1х равна 5/1 = (—кх + т?)6х (сила со стороны пружины равна -кх). Обобщенная сила.

Уравнение движения принимает вид

Вводя новую переменную х' = х — ^ng/k, получаем уравнение.

Это уравнение колебаний. Отсюда.

Величина определяет положение равновесия системы. Если.

/ = 0 (невесомый блок), мы получим частоту колебаний груза на пружинке

Колебания вида (4.6) длятся неопределенно долго. Реально поддерживать такие колебания можно лишь за счет внешнего источника энергии, как это и делается, например, в механических часах. Колебания системы в потенциальной яме сами по себе неизбежно затухают вследствие сил трения. Закон, по которому происходит затухание, зависит от вида силы трения. Во многих практически важных случаях обобщенная сила, ответственная за трение, пропорциональна скорости (сила, действующая на твердые тела в жидкости или в газе). В этом случае вместо уравнения (4.3) получим уравнение.

или.

где мы положили Общий вид функции, удовлетворяющей уравнению (4.9) при 0 < (о₀, такой:

Система совершает колебания с частотой со, амплитуда которых экспоненциально убывает со временем. Эта картина имеет смысл, если система совершает достаточно много колебаний, прежде чем останавливается. Характерное время затухания колебаний равно х = 1/0 (это время, за которое амплитуда уменьшается в е раз). Число колебаний N, которое система совершает за это время, равно.

Величина называется доброт

ностью колеблющейся системы.

Обратите внимание. Трение уменьшает частоту колебаний и увеличивает период (формула (4.10)). Необходимое условие наличия колебаний со₀ > 0. Если это условие не выполняется (силы трения слишком велики), система, выведенная из положения равновесия, возвращается в него и останавливается.

Если со₀ 0, то

Величина называется логарифмическим

декрементом затухания. При р <^! со₀

Добротность 0 связана с логарифмическим декрементом формулой.

При малом затухании из формул (4.11) для частоты и периода получим.

Величины о)₀, Т₀ называются собственными частотой и периодом соответственно.

Задача 4.5. Амплитуда колебаний некоторой системы уменьшилась в к раз после п колебаний. Каков логарифмический декремент затухания системы?

Решение. Имеем:

Задача 4.6. Амплитуда колебаний математического маятника, состоящего из шарика массой т и нити длиной /, уменьшилась в два раза после п колебаний. За сколько колебаний произойдет такое же изменение амплитуды, если масса шарика станет в к раз меньше при том же размере?

Решение. Считаем, что «достаточно велико (скажем, больше двадцати), а к достаточно мало. Имеем, учитывая решение предыдущей задачи: Обобщенная сила, ответственная за затухание (момент сил трения), зависит от свойств нити и размера шарика и остается той же, поэтому коэффициент, а (см. уравнение (4.9)) не изменяется, но величина (3 = а/2р увеличится в к раз: Р, = к$. Считая, что период колебаний не изменяется и Т = Т₀ (именно поэтому предполагалось, что п велико), для нового числа колебаний получим