Аксиомы и основные свойства алгебры логики

Основные свойства алгебры логики базируются на аксиомах и позволяют преобразовывать логические функции. Приведем здесь аксиомы и основные свойства алгебры логики без обсуждения и доказательств. Заметим, что некоторые свойства, в силу их важности, в технической литературе трактуются как законы. Аксиомы алгебры логики:

Законы алгебры логики.

1. Закон одинарных элементов:

• 2. Законы отрицания:
  • а) закон дополнительных элементов

б) двойное отрицание.

поэтому отрицание можно переносить из одной части равенства в другую;

в) закон двойственности (правило Моргана):

Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний и наоборот: отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний:

Правило справедливо для любого числа переменных.

• 3. Комбинационные законы. Они во многом соответствуют обычной алгебре, но есть и отличия:
  • а) тавтологии (многократное повторение)

б) переместительности.

в) сочетательности.

г) распределительности.

Первое соотношение очевидно, а второе докажем путем раскрытия скобок:

д) правило поглощения (одна переменная поглощает другие).

е) правило склеивания (выполняется только, но одной переменной).

Так же, как в обычной математике, имеется старшинство операций:

• 1) действие в скобках;
• 2) операция с одним операндом (одноместная операция) — НЕ;
• 3) конъюнкция — И;
• 4) дизъюнкция — ИЛИ;
• 5) сумма по модулю два.

Операции одного ранга выполняются слева направо в порядке написания.