Дисперсионный анализ. 
Прикладная математика: технологии применения

Идея дисперсионного анализа, как и сам термин «дисперсия», принадлежит английскому статистику Р. Фишеру. Метод был разработан в 1920;е гг.; дальнейшее развитие дисперсионный анализ получил в трудах Ф. Йейтса.

Дисперсионный анализ содержит описание методов и моделей, позволяющих оценивать влияние на количественный отклик Y неколичественных факторов (Х_х, …, Х_р) с целью выбора среди них наиболее важных.

Такими качественными факторами, например, могут быть тип оборудования или технологического процесса, вид сырья, способ обработки и другие условия изготовления изделий, влияющие на их выходные характеристики.

В процессе наблюдения за исследуемым объектом факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора (например, определенный температурный режим, выбранный тип оборудования или вид сырья) называется уровнем фактора или способом обработки. Модель дисперсионного анализа (ДА) с фиксированными (постоянными) уровнями факторов называют моделью I, модель со случайными факторами — моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика. В настоящее время общая теория ДА разработана для модели I.

Дисперсионный анализ основан на разложении общей дисперсии отклика на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Оценив влияние факторов, ДА позволяет выбрать среди них наиболее важные.

В зависимости от количества факторов, включенных в анализ, различают однофакторный, двухфакторный, а также многофакторный ДА.

Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются:

• 1) перекрестная классификация, характерная для модели I, в которой каждый уровень одного фактора сочетается при планировании эксперимента с каждым уровнем другого фактора;
• 2) иерархическая (гнездовая) классификация, характерная для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному уровню одного фактора соответствует свое подмножество уровней второго фактора.

Если одновременно исследуется зависимость отклика от качественных и количественных факторов, т. е. факторов смешанной природы, то используется ковариационный анализ.

При проведении ДА должны выполняться следующие статистические предположения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный (гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Таким образом, изменение способа обработки уровня фактора сказывается лишь на положении случайной величины отклика (которое характеризуется средним значением или медианой). Поэтому все наблюдения отклика принадлежат сдвиговому семейству нормальных распределений.

При неизвестном законе распределения величин отклика используют непараметрические (чаще всего ранговые) методы анализа.