Философская логика. 
Математическая логика

Философская логика является исключительно широкой областью логических исследований, требующих философского осмысления основных понятий, применяемых в современной логике, и результатов, полученных средствами математической логики. Однако сразу отметим, что термин «философская логика» весьма неопределен, разноречив и единого употребления не имеет. Различными специалистами в современной логике и самой философии философская логика понимается по-разному, а скорее — по-своему. Даже если философская логика подается как особая научная дисциплина, определить ее предмет, границы применения и методы однозначно не удается. Более того, не удается строго разделить казалось бы два разных направления исследований: философскую логику и философию логики. Зачастую одно подменяют другим, а порой не считают нужным различать.

Термин «философская логика» появился в англоязычной логико-философской литературе и широкое применение получил уже в 1950—1960;е гг. С одной стороны, кризис в основаниях математики (обнаружение парадоксов в теории множеств и ограничительные теоремы А. Тарского и К. Гёделя) потребовал глубокого осмысления самого концептуального аппарата логики. С другой стороны, появление и бурное развитие неклассических логик, в первую очередь модальной логики, привлекло широкое внимание логиков с философской ориентацией.

Рассуждение называют силлогизмом в определенной форме из двух посылок и заключения. Аргументы могут быть достоверными и недостоверными.

Вывод в силлогизме истинный, если посылки истинные, что соответствует связке импликация.

Приведем известный пример силлогизма:

Всякий человек (Р) смертен (М). Ух (Р (х) —> М (х))

Сократ (С) — человек (Р). Р (С)

Следовательно, Сократ (Р) — смертен (М). Р (С) —> М (С)

Или Ух (1х) -> М (х)) & Р (С) -> (Р© М (С)).

Простые утверждения могут иметь одну посылку и заключение.

Пример простого утверждения:

Все лебеди — белые (посылка). Ух (Цх) —> W (x))

Следовательно, черных лебедей нет (заключение). —3x (L (x) —> -iVP (x)).

Или Vx (L (x) —> 1Р (.г)) —> -.3x (L (x) —" -ЛГ (х)).

Традиционная логика утверждает, что все рассуждения могут быть сведены к силлогизмам и простым утверждениям. Для проверки силлогизмов предлагается специальный язык и используется теоретико-множественная интерпретация.

Символы, обозначающие кванторы:

• • А — общеутвердительные («все», «всякий») — все S есть Р;
• • Е — общеотрицательные («ни один», «никакой») — ни одно 5 не есть Р,
• • I — частноутвердительные («некоторые») — некоторые S есть Р;
• • О — частноотрицательные («некоторые, не суть») — некоторые 5 не есть Р.

Примеры: А. Все студенты совершенны. Е. Никакие студенты несовершенны. I. Некоторые студенты совершенны. О. Некоторые студенты несовершенны.

Простые рассуждения делятся на сравнимые и несравнимые.

Сравнимые (идентичные по материалу) суждения имеют одинаковые субъекты и предикаты, но могут отличаться кванторами и связками. Например, суждения: «Все школьники изучают математику», «Некоторые школь-

ники не изучают математику" являются сравнимыми: у них совпадают субъекты и предикаты, а кванторы и связки различаются. Несравнимые рассуждения имеют разные субъекты и предикаты. Например, суждения: «Все школьники изучают математику», «Некоторые спортсмены — это олимпийские чемпионы» являются несравнимыми: субъекты и предикаты у них не совпадают.

Сравнимые суждения бывают, как и понятия, совместимыми и несовместимыми и могут находиться в различных отношениях между собой.

Совместимыми называются суждения, которые могут быть одновременно истинными. Например, суждения «Некоторые люди — это спортсмены», «Некоторые люди — это не спортсмены» являются одновременно истинными и представляют собой совместимые суждения.

Несовместимыми называются суждения, которые не могут быть одновременно истинными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого. Например, суждения «Все школьники изучают математику», «Некоторые школьники не изучают математику» не могут быть одновременно истинными и являются несовместимыми (истинность первого суждения с неизбежностью приводит к ложности второго).

Совместимые суждения могут находиться в следующих отношениях.

• 1. Равнозначность — это отношение между двумя суждениями, у которых и субъекты, и предикаты, и связки, и кванторы совпадают. Например, суждения «Москва является древним городом», «Столица России является древним городом» находятся в отношении равнозначности.
• 2. Подчинение — это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты и связки совпадают, а субъекты находятся в отношении вида и рода. Например, суждения «Все растения являются живыми организмами», «Все цветы (некоторые растения) являются живьши организмами» находятся в отношении подчинения.
• 3. Частичное совпадение (субконтрарность) — это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения «Некоторые грибы являются съедобными», «Некоторые грибы не являются съедобными» находятся в отношении частичного совпадения. Необходимо отметить, что в этом отношении находятся только частные суждения — частноутвердительные (!) и частноотрицательные (О).

Несовместимые суждения могут находиться в следующих отношениях.

1. Противоположность (контрарность) — это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, рассуждения «Все люди являются правдивыми», «Все люди не являются правдивыми» находятся в отношении противоположности. В этом отношении могут быть только общие суждения — общеутвердительные (Л) и общеотрицательные (Е). Важным признаком противоположных суждений является то, что они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Так, два приведенных противоположных суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными: неправда, что все люди являются правдивыми, но также неправда, что все люди не являются правдивыми.

Противоположные суждения могут быть одновременно ложными, потому что между ними, обозначающими какие-то крайние варианты, всегда есть третий — средний, промежуточный вариант. Если этот средний вариант будет истинным, то два крайних окажутся ложными. Между противоположными (крайними) суждениями «Все люди являются правдивыми», «Все люди не являются правдивыми» есть третий, средний вариант «Некоторые люди являются правдивыми, а некоторые не являются таковыми», который, будучи истинным суждением, обусловливает одновременную ложность двух крайних противоположных рассуждений.

2. Противоречие (контрадикторность) — это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты совпадают, связки различны, а субъекты отличаются своими объемами, т. е. находятся в отношении подчинения (вида и рода). Например, суждения «Все люди являются правдивыми», «Некоторые люди не являются правдивыми» находятся в отношении противоречия. Важным признаком противоречащих суждений, в отличие от противоположных, является то, что между ними не может быть третьего — среднего, промежуточного варианта. В силу этого два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот — ложность одного обусловливает истинность другого.

Рассмотренные отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который в XI в. предложил византийский логик Михаил Пселл (рис. 6.34).

Рис. 634. Логический квадрат Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали — отношения между ними. Так, суждения видов А и /, а также видов? и О находятся в отношении подчинения. Суждения видов А и Е находятся в отношении противоположности, а видов I и О — в отношении частичного совпадения. Суждения видов Л и О, а также видов Е и / находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т. е. равнозначность — это отношение между суждениями видов А и А, I и /, Е и ?, О и О.

Чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения «Все люди изучали логику», «Некоторые люди не изучали логику». Видя, что первое суждение является общеутвердительным (Л), а второе — частноотрицательным (О), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата — противоречие. Суждения «Все люди изучали логику» (А), «Некоторые люди изучали логику» (/) находятся в отношении подчинения, а суждения «Все люди изучали логику» (А), «Все люди не изучали логику» (Е) — в отношении противоположности.

Как уже говорилось, важным свойством суждений, в отличие от понятий, является то, что они могут быть истинными или ложными.

Что касается сравнимых суждений, то истинностные значения каждого из них определенным образом связаны с истинностными значениями остальных. Так, если суждение вида А является истинным или ложным, то три других (/, Е, О) сравнимых с ним суждения (имеющих сходные с ним субъекты и предикаты) в зависимости от этого (от истинности или ложности рассуждения вида А) тоже являются истинными или ложными. Например, если суждение вида А «Все тигры — это хищники» является истинным, то суждение вида I «Некоторые тигры — это хищники» также является истинным (если все тигры — хищники, то и часть из них, т. е. некоторые тигры, — это тоже хищники), суждение вида Е «Все тигры — это не хищники» является ложным, и суждение вида О «Некоторые тигры — это не хищники» также является ложным. Таким образом, в данном случае из истинности суждения вида А вытекает истинность суждения вида I и ложность суждений видов Е и О (разумеется, речь идет о сравнимых суждениях, т. е. имеющих одинаковые субъекты и предикаты).

Из сказанного можно сделать следующие выводы об истинности и ложности суждений (неопределенным будем называть такое суждение, которое может быть как истинным, так и ложным в зависимости от того, о чем будет идти в нем речь):

Если А — истинно, то Е — ложно, О — ложно, I — истинно;

Если А — ложно, то Е — неопределенно, О — истинно, I — неопределенно;

Если Е — истинно, то А — ложно, I — ложно, О — истинно;

Если Е — ложно, то А — неопределенно, I — истинно, О — неопределенно;

Если I — истинно, то А — неопределенно, Е — ложно, О — неопределенно;

Если / — ложно, то А — ложно, Е — истинно, О — истинно;

Если О — истинно, то А — ложно, Е — неопределенно, / — неопределенно;

Если О — ложно, то А — истинно, Е — ложно, / — истинно.

Важно иметь в виду выводы, которые нельзя получить по схеме логического квадрата:

• • нельзя получить вывод от ложности общего к ложности частного суждения;
• • нельзя получить вывод от истинности частного суждения к истинности общего суждения;
• • нельзя перейти от ложности общего к истинности контрарного (противоположного) суждения;
• • если ложно А, то отсюда никак не следует истинность Е, так же как из ложности Е не следует истинность А.

Рассмотрим парадокс Эпименида, который, будучи критянином, сказал: «Все критяне лгуны». Поскольку он критянин, то оказывается, что он лгун. Значит, критянин говорит правду. Следовательно, он — лжец, поскольку его утверждение, что «Все критяне лгуны» — ложно. А раз оно ложно, то, значит, критяне говорят правду. Значит, утверждение, что «все критяне — лгуны», истинно.

Одно и то же суждение и истинно, и ложно, и это противоречит нашим законам мышления.

Зная изложенные выше правила, относящиеся к законам мышления, легко разобраться в этом парадоксе. Пусть утверждение «Все критяне лгуны» — ложно. Это общеутвердителыюе суждение А. Однако в соответствии с законом исключенного третьего из ложности А никоим образом не следует, что критяне говорят правду, т. е. истинность Е (ни один критянин не лгун). Может быть, какие-то критяне не лгуны, и тогда парадокс исчезает.

Еще одна важная логическая характеристика суждений связана с соотношением объемов субъекта (S) и предиката (Р). Она именуется распределенностью терминов суждения. Термин распределен, если он берется в полном объеме, и не распределен, если взят в неполном объеме, частично. Распределенность терминов в суждениях представлена в табл. 6.4.

Таблица 6.4

Распределенность терминов в суждениях.

В позитивной силлогистике одним из наиболее важных видов опосредованных умозаключений является простой категорический силлогизм, свойства которого наиболее известны и хорошо исследованы в логике еще со времен Аристотеля. В нем всегда содержится не более трех терминов — меньший, больший и средний.

Меньшим термином силлогизма является субъект заключения {Subject).

Термин же, являющийся общим для обеих посылок, но отсутствующий в их заключении, называется средним {Middle).

Термин заключительный — больший (предикат, Predicate).

Посылка, содержащая меньший термин (5), называется меньшей посылкой, а содержащая больший термин силлогизма {Р) — большей. Обычно условливаются помещать большую посылку на первое место, а под ней записывать меньшую посылку.

Рассмотрим пример простого силлогизма:

Все цветы (А/) — это растения {Р).

Все розы {S) — это цветы {М).

Все розы {S) — это растения {Р).

Обе посылки и вывод являются в данном силлогизме простыми суждениями (причем и посылки, и вывод — это суждения вида А (общеутвердительные)). Обратим внимание на вывод, представленный суждением «Все розы — это растения». В этом выводе субъектом выступает термин «розы», а предикатом — термин «растения». Субъект вывода присутствует во второй посылке силлогизма, а предикат вывода — в первой. Также в обеих посылках повторяется термин «цветы», который, как нетрудно увидеть, является связующим: именно благодаря ему несвязанные, разобщенные в посылках термины «растения» и «розы» можно связать в выводе.

Таким образом, структура силлогизма включает в себя две посылки и один вывод, которые состоят из трех различным образом расположенных терминов.

Фигуры позволяют классифицировать силлогизмы и оценивать их достоверность.

Фигура силлогизма определяется положением его терминов S, М и Р. Имеются четыре возможные фигуры, которые приведены в табл. 6.5.

Таблица 6.5

Возможные расположения силлогизмов.

Рассмотрим возможные варианты взаимного расположения терминов в силлогизме.

Первая фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором первая посылка начинается со среднего термина, а вторая заканчивается средним термином. Например:

Все газы (М) — это химические элементы (Р).

Гелий (S) — это газ (М).

Гелий (S) — это химический элемент (Р).

Учитывая, что в первой посылке средний термин связан с предикатом, во второй субъект связан со средним термином, а в выводе субъект связан с предикатом, составим схему расположения и связи терминов в приведенном примере (рис. 6.35, а).

Рис. 6.35. Схема связей и отношений терминов в первой фигуре Прямые линии на схеме (за исключением той, которая отделяет посылки от вывода) показывают связь терминов в посылках и в выводе. Поскольку роль среднего термина заключается в том, чтобы связывать больший и меньший термины силлогизма, на схеме средний термин в первой посылке соединяется линией со средним термином во второй посылке. Схема показывает, каким именно образом средний термин связывает между собой другие термины силлогизма в его первой фигуре. Кроме того, отношения между тремя терминами можно изобразить с помощью кругов Эйлера (рис. 6.35, б).

Вторая фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором и первая, и вторая посылки заканчиваются средним термином. Например:

Все рыбы (Р) дышат жабрами (М).

Все киты (S) не дышат жабрами (М).

Все киты (S) — не рыбы (Р).

Схемы взаимного расположения терминов и отношений между ними во второй фигуре приведена на рис. 6.36.

Рис. 6.36. Схемы связей терминов и отношений между ними во второй фигуре Третья фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором и первая, и вторая посылки начинаются со среднего термина. Например:

Все тигры (М) — это млекопитающие (Р).

Все тигры (М) — это хищники (5).

Некоторые хищники (5) — это млекопитающие (Р).

Схемы взаимного расположения терминов и отношений между ними в третьей фигуре силлогизма приведены на рис. 6.37.

Рис. 6.37. Схемы связей терминов и отношений между ними в третьей фигуре.

Четвертая фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором первая посылка заканчивается средним термином, а вторая начинается с него. Например:

Все квадраты (Р) — это прямоугольники (М).

Все прямоугольники (М) — это не треугольники (S).

Все треугольники (5) — это не квадраты (Р).

Схемы взаимного расположения терминов и отношений между ними в четвертой фигуре силлогизма приведены на рис. 6.38.

Рис. 6.38. Схемы связей терминов и отношений между ними в четвертой фигуре.

Отметим, что отношения между терминами силлогизма во всех фигурах могут быть и другими.

Каждой фигуре соответствуют модусы, различающиеся в зависимости от логических отношений, связывающих термины в высказываниях силлогизма. Модусом простого силлогизма называется набор простых суждений, входящих в силлогизм.

Модус силлогизма определяется комбинацией кванторов, т. е. комбинацией высказываний А, Е, I и О (64 возможных модуса в фигуре), 4 • 64 = = 256 возможных форм силлогизмов. Однако из всех этих 256 модусов только 24 дают достоверные выводы. Это те модусы, для которых между посылками и заключением существует отношение логического следования. Эти 24 модуса называются правильными. Остальные модусы приводят к вероятностным выводам и называются, соответственно, неправильными.

Пример 6.6.

Запишем представленные силлогизмы.

1. Все небесные тела движутся.

Все планеты — это небесные тела.

Все планеты движутся.

В силлогизме первая посылка является простым суждением вида А (общеутвердительным), вторая посылка — это тоже простое суждение вида А, и вывод в данном случае представляет собой простое суждение вида А. Поэтому силлогизм имеет модус АЛА.

2. Все журналы — это периодические издания.

Все книги не являются периодическими изданиями.

Все книги не являются журналами.

Силлогизм имеет модус АЕЕ.

3. Все углероды — простые тела.

Все углероды электропроводны.

Некоторые электропроводники — простые тела.

Силлогизм имеет модус AAI.

Необходимо уметь определять фигуру и модус любого простого силлогизма.

Пример 6.7.

Установим фигуру и модус силлогизма:

Все вещества состоят из атомов.

Все жидкости — это вещества.

Все жидкости состоят из атомов.

Прежде всего надо найти субъект и предикат вывода, т. е. меньший и больший термины силлогизма. Далее следует установить местоположение меньшего термина во второй посылке и большего — в первой. После этого можно определить средний термин и схематично изобразить расположение всех терминов в силлогизме (рис. 6.39).

Рис. 639. Схемы связей терминов и отношений между ними Имеем термины — вещества (М), атомы (Р), жидкости (S).

Как видим, рассматриваемый силлогизм построен по первой фигуре. Теперь надо найти его модус. Для этого следует выяснить, к какому виду простых суждений относятся первая и вторая посылки и вывод. В приведенном примере обе посылки и вывод являются суждениями вида А (общеутвердительными), т. е. модус данного силлогизма — ААА. Итак, предложенный силлогизм имеет первую фигуру и модус ААА.

Если посылки и заключение силлогизма начинаются с квантора «все» («всякий»), то модус силлогизма обозначается A (PM)A (SM)A (SP). Каждое высказывание такого силлогизма является общеутвердительным.

Если первая посылка начинается с «ни один» («никакой»), вторая с «некоторые», а заключение — с «некоторые … не суть», то модус данного силлогизма изображается как E (MP)I (MS)0(SP). Здесь первая посылка является общеотрицатсльным высказыванием, вторая — частноутвердительным, а заключение — частноотрицательным высказыванием.