Закон исключенного третьего

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух проншворечащих высказываний одно является истинным.

Символически (напомним: Л — переменная, вместо которой могут подставляться высказывания; V — дизъюнкция, «или»; — отрицание, «неверно, что»):

А или не-А. Например: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее» и т. п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

Эту мысль Аристотель выразил так: «…Не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно: либо утверждать, либо отрицать».

Человек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то рыдает или не рыдает, собака выполняет команду или не выполняет ее и т. п. — других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива, или противоречива.

Этот закон с иронией обыгрывается в художественной литературе. Причина иронии понятна: сказать «Нечто есть или его нет», значит, ровным счетом ничего не сказать, и смешно, если кто-то этого не знает.

Например: 1. В «Мещанине во дворянстве» Ж. Б. Мольера есть такой диалог:

Г-н Ж у р д е н. …А теперь я должен открыть вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне хотелось бы, чтобы вы помогли написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к се ногам.

Учитель философии. Конечно, вы хотите написать ей стихи?

Г-н Журден. Нет, нет, только не стихи.

Учитель философии. Вы предпочитаете прозу?

Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни стихов.

Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое.

Г-н Журден. Почему?

Учитель философии. По гой причине, сударь, что мы можем излагать свои мысли не иначе, как прозой или стихами.

Г-н Журден. Не иначе, как прозой или стихами?

Учитель философии. Не иначе, сударь. Все, что не проза, то стихи, а что не стихи, то проза.

• 2. В известной сказке Л. Кэрролла Белый Рыцарь намерен спеть Алисе «очень, очень красивую песню»:
  • — Когда я ее пою, все рыдают… или…
  • — Или что? — спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился.
  • — Или… не рыдают…
• 3. В другой популярной сказке народный лекарь Богомол заключает после осмотра Буратино:
  • — Одно из двух: или пациент жив. или он умер. Если он жив — он останется жив или нс останется жив. Если он мертв — его можно оживить или нельзя оживить.
• 4. Это напоминает ситуацию из старой песенки, в которой тоже используется идея исключенного третьего:

Жила одна старушка, Вязала кружева, И, если нс скончалась —.

Она еще жива.

Закон исключенного третьего кажется самоочевидным. Тем не менее высказывались предложения отказаться от него или ограничить его действие в случае определенных высказываний.

Например, Аристотель сомневался в приложимости этого закона к высказываниям о будущих событиях. В настоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено, и нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились. Высказывание «Через сто лет в этот же день будет идти дождь» сейчас, скорее всего, ни истинно, ни ложно; таким же является его отрицание. Но закон исключенного третьего утверждает, что или само высказывание, или его отрицание истинно. Значит, заключает Аристотель, хотя и без особой уверенности, данный закон следует ограничить одними высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о будущем.

Немецкий философ Г. 1ёгель весьма иронично отзывался как о законе противоречия, так и о законе исключенного третьего. Последний он представлял, в частности, в такой форме: дух является зеленым или нс является зеленым, и задавал каверзный, как ему казалось, вопрос: какое из этих двух утверждений истинно?

Но ответ на этот вопрос не представляет труда. Ни одно из двух утверждений: «Дух — зеленый» и «Дух — не зеленый» не является истинным, поскольку оба они бессмысленны. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным’высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно.

Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего голландский математик Л. Брауэр. В начале XX в. он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики и прежде всего закона исключенного третьего. Первая из этих статей не превышала трех страниц, вторая — четырех, а вместе они не занимали и 17 страниц. Но впечатление, произведенное ими, было чрезвычайно сильным.

Брауэр был убежден, что логические законы не являются абсолютными истинами, нс зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключенного третьего, он настаивал на том, что между утверждением и его отрицанием имеется еще третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.

Допустим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все объекты. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: «В данном множестве есть объект с указанным свойством» или же «В этом множестве нет такого объекта». Закон исключенного третьего здесь справедлив.

Но когда множество бесконечно, объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор нс проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не является истинным.

Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков, особенно старшего поколения. «Изъять из математики принцип исключенного третьего, — заявлял немецкий математик Д. Гильберт. — все равно, что запретить боксеру пользоваться кулаками».

Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике — так называемой интуиционистской логики. Здесь не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них — доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду.

С законом исключенного третьего косвенно связан следующий методологический принцип: анализ каждого объекта должен вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно любого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет. Это требование полноты и всесторонности исследования не относится к законам логики. Оно полезно, но нередко оказывается невыполнимым. В случае рассуждений о бесконечных и неопределенных совокупностях объектов, об изменяющихся, текучих состояниях и т. п. изучение объекта не всегда способно достичь такой полноты, чтобы на любой вопрос о нем удалось ответить однозначно «да» или «нет».