Подход Бокса – Дженкинса

В 1976 г. Д. Бокс и Г. Дженкинс предложили систематический подход практической оценки моделей ARMA. Подход включает три части:

• 1) идентификацию;
• 2) оценивание;
• 3) диагностику построенной модели.

На этапе идентификации Бокс и Дженкинс предложили определять порядок модели. Для того чтобы найти максимально подходящую спецификацию модели, можно провести визуальный анализ графика, построить автокорреляционную и частную автокорреляционную функции, провести расширенный тест Дики — Фуллера.

Авторы предложили оценивать параметры идентифицированной на первом шаге модели с помощью метода наименьших квадратов и метода максимального правдоподобия.

На третьем этапе проверяется адекватность полученной выше модели. Существуют различные критерии проверки модели.

При помощи теста Стьюдента можно проверить статистическую значимость отличия от нуля коэффициентов модели. С помощью F-частного можно определить, оптимальная ли комбинация регрессоров используется в модели.

Кроме того, согласно ARMA ошибки модели должны быть белым шумом. Можно проверить это условие. Как известно, белый шум имеет нулевую автокорреляцию, следовательно, выборочная автокорреляционная функция остатков также должна равняться нулю.

Выборочную автокорреляционную функцию можно найти как по формуле.

(8.9).

Проверить одновременные статистически значимые отличия от нуля значений первых коэффициентов автокорреляции можно при помощи теста, разработанного в 1970 г. Д. Боксом и Д. Пирсом:

(8.10).

где Т — размер выборки; m — порядок максимально лага.

При нулевой гипотезе Q подчиняется распределению x2 (m — р — q). Нулевая гипотеза отвергается, если полученное Q превышает критическое значение.

К сожалению, статистика Бокса — Пирса часто приводит к ошибочным результатам при работе с высокочастотными маленькими выборками. В 1978 г. Г. Льюнг и Д. Бокс предложили модифицированный meсm Бокса-Пирса:

Информационные критерии при идентификации модели ARMA

Процесс идентификации модели ARMA не всегда проводится с использованием только визуального анализа графиков автокорреляционных и частных автокорреляционных функций. При использовании реальных данных картинки не всегда будут такими очевидными, как описывается в теории. Следовательно, не всегда можно будет определить порядок модели только по автокорреляционным функциям.

Альтернативный подход заключается в использовании так называемых информационных критериев. При добавлении в модель новой переменной или дополнительно лага в значении информационного критерия одновременно будут наблюдаться два эффекта: уменьшение суммы квадратов остатков и увеличение величины штрафа за введение дополнительной переменной.

Цель заключается в том, чтобы получить модель с минимальными значениями информационных критериев. Наиболее популярными информационными критериями являются критерии Акайке, критерий Шварца и информационный критерий Ханнан — Куина.

Критерий Акайке (AIC) был разработан в 1974 г. и вычисляется по формуле.

(8.11).

Критерий Шварца (1978) выглядит следующим образом:

(8.12).

Информационный критерий Ханнан - Куина имеет вид.

(8.13).

где ?2 — дисперсия остатков (сумма квадратов остатков, деленная на число наблюдений T); k = р + q + 1 — число оцениваемых параметров; Т — размер выборки.

Заметим, что в критерии Шварца величина штрафа за количество параметров превышает штраф в критерии Акайке, а штраф в критерии Ханнан — Куина есть нечто среднее между штрафами в критериях Акайке и Шварца.

Внимательный читатель уже, наверно, обратил внимание, что по своей идеологии информационные критерии похожи на скорректированный коэффициент детерминации R2.

К сожалению, нельзя утверждать, что какой-то критерий лучше других позволяет определить порядок авторегрессионной скользящей средней модели. Как правило, при практической работе приходится пользоваться совокупностью описанных информационных критериев.