Общие уравнения динамики и принцип возможных перемещений

Рассмотренные ранее основные уравнения динамики, записанные в виде.

можно совместить с принципом возможных перемещений, согласно которому: для механической системы, в которой все приложенные силы (движущие силы, силы сопротивлений) уравновешиваются при ее любом возможном перемещении, сумма работ всех сил равна нулю. Этот принцип позволяет упростить рассмотрение условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам с большим количеством тел (элементов механической системы), поскольку уравнение работ не содержит реакций связей.

С учетом этого принципа обе части уравнений динамики умножим на возможные перемещения. Тогда.

Сложив эти уравнения, получим общее (универсальное) уравнение динамики.

Уравнение (7.19) выражает частный случай закона сохранения энергии. Хотя уравнение не содержит силовых моментов, оно является универсальным, так как любые моменты выражаются парами сил и задавшись произвольными величинами плечей /?, h_v …, h_i получим силы.

Кроме того, следует учесть рассмотренное выше положение о том, что все силы можно привести к одной (главной) силе, т. е. к главному вектору сил и моменту, соответственно, силы инерции точек любого тела можно привести к силе, приложенной в произвольной точке и паре сил.

Пример задачи с применением общего уравнения динамики. На ступенчатый барабан (рис. 7.3) намотаны два троса, к концам которых подвешены грузы массой т_х и т₂. Радиусы дисков барабана — г, и г₂. Считая трос нерастяжимым, определить угловое ускорение барабанов. Считать, что барабаны представляют собой сплошные цилиндры, массой тросов пренебречь.

Рис. 7.3. Схема ступенчатого барабана с подвешенными грузами

Решение. Система может двигаться (вращаться) под действием сил тяжести грузов. Для заданных условий центры тяжести дисков с радиусами г, и г₂ находятся на оси вращения.

Моменты инерции дисков относительно оси вращения J_{ = m_bxr_x, J₂ = = m_b2^rh ^гДе ^тъ ^{и т}ы ~ ^массы дисков. Соответствующие моменты сил инерции.

Сообщим системе возможное перемещение, повернув барабан на угол Аср в сторону вращения (т.е. по возможному перемещению). При этом перемещения концов троса под действием сил тяжести будут, соответственно, AS_X и ЛS₂. В момент начала перемещения возникает сила инерции Р, = = -т_ха_х и Р₂ = -т₂а₂, ускорения а_х = г_хг и а₂ = г₂г. Тогда Р, = т_хг_хг, Р₂ = т₂г₂г.

В соответствии с общим уравнением динамики, основанном на принципе равенства работ активных и реактивных сил, получаем.

Здесь работа сил инерции P_XAS_X и P₂AS₂ отрицательна, так как их направления и поворот барабана противоположны. При этом Д5, = г, Дф, AS₂ = = г₂Дф. Подставив в это уравнение значения Р, Р₂, M_v М₂, J_x иJ_v имеем.

Откуда угловое ускорение барабана.