Расчет на устойчивость симметричных систем

При решении задач устойчивости из-за отсутствия линейной зависимости между силами и перемещениями принцип независимости действия сил уже не соблюдается. Поэтому разложение нагрузки на симметричную и кососимметричную, как при статическом расчете, не допускается. Таким образом, симметрией рамы можно воспользоваться только в случае, когда упругосимметричная рама нагружена симметричной нагрузкой. Упрощение имеет место вследствие доказательства того факта, что общий определитель, составленный для всей системы, можно разложить на два определителя, соответствующих симметричным и кососимметричным формам потери устойчивости.

Рассмотрим симметричную и симметрично нагруженную раму, изображенную на рис. 10.14, а. При расчете этой рамы методом перемещений она имеет три неизвестных перемещения. Решим задачу с помощью групповых неизвестных. Формы деформаций от единичных значений этих неизвестных показаны на рис. 10.14, б—г. Форма б соответствует симметричной форме потери устойчивости, а в, г — кососимметричным формам. В силу симметрии побочные коэффициенты г₁₂, г₁₃, г₂₁, г₃₁ будут равны нулю.

Рис. 10.14. Формы потери устойчивости симметричной рамы.

В итоге общий определитель распадается на два определителя:

что позволяет рассматривать отдельно К_С = 0 и | К_кс = 0.

Таким образом, при исследовании упругой устойчивости симметричных и симметрично нагруженных систем достаточно отдельно рассмотреть симметричные и кососимметричные формы потери устойчивости. Комбинированные формы потери устойчивости не могут дать меньшей критической нагрузки, чем наиболее опасная симметричная или кососимметричная форма. Как правило, нужно рассматривать оба тина форм потери устойчивости, однако в ряде случаев нетрудно предугадать наиболее опасную форму потери устойчивости (симметричную или кососимметричную). Отдельные исследования даже двух типов форм существенно снижают трудоемкость задачи по сравнению с се расчетом без учета симметрии.

Пример 10.7. Определим значение критической нагрузки для симметричной рамы, представленной на рис. 10.15, а. Исследуем отдельно симметричные и кососиммстричные формы потери устойчивости.

Решение

Определим сначала критическую нагрузку для симметричной формы потери устойчивости. Введем групповые неизвестные. Их в данном случае три. Эпюры от единичных перемещений приведены на рис. 10.15, б—г. Ординаты взяты из табл. 10.1. Имеем.

Рис. 10.15. Симметричные формы потери устойчивости Определим реакции в дополнительных связях:

Составим уравнение устойчивости (при этом сократим на 4г):

Раскпоем оппелелитель:

Вычислим наименьший корень этого уравнения: v_min ~ 4,33. Тогда.

Далее исследуем кососимметричные формы потери устойчивости. При кососимметричной форме изгиба посередине ригелей будет перегиб, где изгибающие моменты будут равны нулю. Также в силу симметрии будет равна нулю продольная сила в ригелях. Поэтому можно рассмотреть половину рамы (рис. 10.16, «) и реакции в связях определить, но табл. 10.2, т. е. в основной системе без постановки линейных связей. В результате останутся три неизвестных.

Рис. 10.16. Кососимметричные формы потери устойчивости Относительные жесткости для ригеля изменятся:

Определим реакции:

Составим определитель, сократив на к

Раскроем определитель:

Наименьший кореш, этого уравнения, вычисляемый с помощью любой вычислительной программы или путем подбора, v_mm ~ 2,5. Тогда.

Пусть El = 1-iOO kII • м²; / = 6 м; тогда Расчетная длина сжатых стержней

Совершенно очевидно, что для рассматриваемой рамы наиболее опасной является кососимметричная форма потери устойчивости, что, впрочем, легко можно было предугадать.

Пример 10.8. Определим критическую нагрузку для балки на упругих опорах (рис. 10.17, а). Жесткость El = const, к — жесткость пружин, длина пролета / = 6 м.

Решение

EI

Введем обозначение i = —. Балка симметрична. Для решения задачи используем групповые неизвестные. Основная система метода перемещений изображена на рис. 10.17, б.

Рис. 10.17. Балка на упругих опорах. Эпюры моментов для симметричной и косоимметричной форм потери устойчивости При решении задач устойчивости симметричных систем, как уже отмечалось, необходимо рассматривать симметричные и кососимметричные формы потери устойчивости. Для групповых неизвестных введем новые обозначения: для симметричной формы У, = Z, + Z, и У₂ - Z, — Z₂; для кососиммстричной формы У₃ = Z₃ — Z₄ и У₄ = Z, + Z,.

1. Рассмотрим симметричную форму потери устойчивости. Построим эпюры от единичных значений групповых неизвестных (рис. 10.17, в, г).

Определив реакции в дополнительных связях, составим определитель (10.2).

11 '12.

г>, г.;

второго порядка:

= 0. Уравнение устойчивости: г_пг₂₂ — г², = 0.

Коэффициенты: Раскроем определитель:

или после деления на г²

При вычислении F необходимо знать соотношение погонных жесткостей стержней и упругой связи. Примем, что это отношение равно единице, т. е. жесткости одинаковы. В результате получим.

2. Рассмотрим кососимметричную форму потери устойчивости. Построим эпюры от единичных значений групповых неизвестных (рис. 10.17, д, е).

Определив реакции в дополнительных связях, составим определитель (10.2).

второго порядка: ^{11 12} = 0. Уравнение устойчивости: г_иг₂₂ — г²₂ = 0.

^Г21 ^Г22

Коэффициенты:

Раскроем определитель: или после деления на г² В результате

При одинаковых жесткостях результат получился практически одинаковым. Небольшое расхождение возникло за счет округления чисел при вычислении. Надо полагать, что это самый оптимальный вариант.

Упражнение 10.4. Определите критические нагрузки для симметричной и кососимметричной форм потери устойчивости рамы, изображенной на рис. 10.18.

Рис. 10.18. Симметричная и симметрично нагруженная рама.