Классификация игр

Реферат

тема

Классификация игр

План

1. Классификация игр по выигрышу

2. Классификация игр по характеру получения информации

3. Игры по характеру предварительной договоренности

4. Бесконечные и конечные игры Заключение Список использованной литературы

Теория игр — теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится во множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.

Теория игр пытается математически объяснить явления, возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией, социологией, экономикой.

Теория игр² была основана Джоном фон Нейманом³ и Оскаром Моргенштерном⁴ в их первой работе «The Theory of Games and Economic Behavior», изданной в 1944 году. В 1928 году в математических анналах фон Нейманом была опубликована статья «О теории общественных игр» в которой впервые было применено понятие «теория игр». Использование этого понятия объясняется схожестью логики принятия решений в таких играх, как шахматы, скат или покер, и в некоторых ситуациях общественной жизни, прежде всего в экономике и военном деле. Характерным для таких ситуаций является то, что результат для принимающего решение зависит не только от его решения, но и от того, какое решение примут другие. Поэтому оптимальный исход не может быть получен в результате принятия решения одним лицом.

1. Классификация игр по выигрышу

Антагонистические игры (матем.), понятие теории игр. Антагонистические игры — игры, в которых участвуют два игрока (обычно обозначаемые I и II) с противоположными интересами. Для антагонистических игр характерно, что выигрыш одного игрока равен проигрышу другого и наоборот, поэтому совместные действия игроков, их переговоры и соглашения лишены смысла. Большинство азартных и спортивных игр с двумя участниками (командами) можно рассматривать как антагонистические игры. Принятие решений в условиях неопределённости, в том числе принятие статистических решений, также можно интерпретировать как антагонистические игры. Определяются антагонистические игры заданием множеств стратегий игроков и выигрышей игрока I в каждой ситуации, состоящей в выборе игроками своих стратегий. Таким образом, формально антагонистические игры есть тройка ‹А, В, Н›, в которой, А и В — множества стратегий игроков, а Н (а, b) — вещественная функция (функция выигрыша) от пар (а, b), где, а I A, b I В. Игрок I, выбирая а, стремится максимизировать Н (а, b), а игрок II, выбирая b, — минимизировать Н (а, b). Антагонистические игры с конечными множествами стратегий игроков называются матричными играми.

Основой целесообразного поведения игроков в антагонистических играх считается принцип минимакса. Следуя ему, I гарантирует себе выигрыш точно так же II может не дать I больше, чем Если эти «минимаксы» равны, то их общее значение называется значением игры, а стратегии, на которых достигаются внешние экстремумы, — оптимальными стратегиями игроков. Если «минимаксы» различны, то игрокам следует применять смешанные стратегии, т. е. выбирать свои первоначальные («чистые») стратегии случайным образом с определёнными вероятностями. В этом случае значение функции выигрыша становится случайной величиной, а её математическое ожидание принимается за выигрыш игрока I (соответственно, за проигрыш II). В играх против природы оптимальную смешанную стратегию природы можно принимать как наименее благоприятное априорное распределение вероятностей её состояний. В антагонистических играх игроки, используя свои оптимальные стратегии, ожидают получения (например, в среднем, если игра повторяется многократно) вполне определённых выигрышей. На этом основан рекуррентный подход к динамическим играм в тех случаях, когда они сводятся к последовательностям антагонистических игр, решения которых можно найти непосредственно (например, если эти антагонистические игры являются матричными). Антагонистические игры составляют класс игр, в которых принципиальные основы поведения игроков достаточно ясны. Поэтому всякий анализ более общих игр при помощи антагонистических игр полезен для теории. Пример такого анализа даёт классическая кооперативная теория игр, изучающая общие бескоалиционные игры через системы Антагонистические игры каждой из коалиций игроков против коалиции, состоящей из всех остальных игроков.

Игра с нулевой суммой (zero-sum game). Состязание, в котором проигрыш одного игрока равнозначен выигрышу другого. Игры можно разделить на две категории: с нулевой и с ненулевой суммой. Если сумма выигрышей всех игроков остается постоянной при любых вариантах исхода игры, ее относят к категории игр с постоянной суммой. Но поскольку математически выплаты могут быть смещены по шкале, удобнее и нормальнее называть их играми с нулевой суммой. В игре с нулевой суммой при любом варианте ее исхода выигрыш победителя (победителей) всегда равен убытку проигравшего (проигравших). Большинство игр в обычном смысле слова, без избирательного вмешательства извне, являются именно такими играми. К ним принадлежат, в частности, шахматы и футбол (даже если какая-то посторонняя организация присуждает за победу установленную награду). Однако футбольная игра, в которой игрокам платят за то, чтобы они сыграли вничью, или игра в слова (в которой игроки получают очки, составляя слова из случайных разрозненных букв), где награда дается за наибольшую сумму набранных очков, представляют собой примеры игр с нулевой суммой. Такое определение предпочтительнее чем «с положительным результатом» или «с отрицательным результатом». Несмотря на широкое употребление двух последних определений, они обычно создают путаницу, а иногда и оказываются неверными, т.к. не дают точного определения тому, с чем сравнивать положительный результат. В 1944 г. Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн выдвинули теорию, согласно которой во всех играх с нулевой суммой и двумя участниками существует особое равновесие, когда каждый участник выбирает стратегию, которая сводит до минимума его потери при любой возможной стратегии противника (см. также: «Минимакс»; «максимин»). Это элегантное математическое построение имеет ограниченное практическое значение, хотя и свидетельствует о существовании оптимальной стратегии игры в шахматы. К счастью, эта стратегия до сих пор не найдена. Игры с нулевой суммой имеют в политике менее формальное значение. Если в игре участвуют два партнера, объединение между ними не возможно; при большем количестве игроков возникают широкие, часто безграничные возможности создания временных коалиций одной части игроков против другой. Поэтому игры с образованием коалиций имеют нулевую сумму. Некоторые авторы причисляют к этой категории и другие политологические игры, например, гонку вооружений или промышленный конфликт. Это неизменно приводит к мрачным прогнозам, поскольку в данных случаях исключается длительное взаимодействие. Игры с ненулевой суммой дают игрокам возможность взаимодействия для получения оптимального результата. Это остается в силе независимо от того, подразумевает игра взаимодействие или нет. Даже в игре без взаимодействия, например в «дилемме заключенных» (prisoners dilemma), игроки имеют возможность размышлять о ходе мыслей противника. В повторяющихся играх без взаимодействия игроки могут координировать свои действия на основе равновесия взаимодействия (более высокого по уровню). Большинство политологических игр, кроме игр с образованием коалиций, наверное, лучше всего рассматривать как игры с ненулевой суммой" .

2. Классификация игр по характеру получения информации

Представление игры в развернутой и в нормальной форме.

Развернутая форма

Игра может быть представлена как совокупность всех возможных ходов и выплат (выигрышей).

Пример: Игра со спичками

На столе лежат 6 спичек. 2 игрока по очереди берут по одной или по две спички. Тот, кто возьмет последним 1 или 2 спички, тот победил. Игру можно представить в виде следующего дерева игры:

Это развернутая форма представления игры. Каждому конечному пункту, отмеченному квадратиком, соответствует один исход игры. В этой игре возможны 13 исходов. Представим в качестве примера по одной из стратегий каждого игрока.

Стратегия игрока А:

Стратегия игрока В:

Примечание: пунктирные линии обозначают возможные, но не используемые в данной стратегии ходы игрока.

Нормальная форма

В нормальной форме игра представляется в виде платежной матрицы (табл. 1)

Таблица 1

a_i — стратегии игрока А;

b_j — стратегии игрока B;

x_ij — выплаты игроку, А от игрока В при сочетании стратегий a_i и b_j;

y_ij — выплаты игроку В от игрока, А при сочетании стратегий a_i и b_j;

По условию оба игрока знают все параметры платежной матрицы и каждый определяет свою стратегию независимо друг от друга.

Динамические игры

До сих пор были рассмотрены игры, которые играются однократно или каждый из игроков выбирал свою стратегию однократно. В тоже время существуют игры, в которых партии повторяются. Даже, если в части игры присутствует оптимальное равновесие Нэша, у игрока тем не менее возникает вопрос выбора стратегии в соответствии со стратегиями игроков в прошлых и будущих играх. В дилемме заключенных эта проблема выгладит так: оба игрока кооперируют в первой партии игры, придерживаясь своей доминантной стратегии, и таким образом они оба выигрывают. Игрок 2 ожидает поэтому, что в следующей партии игрок 1 вновь будет кооперировать и выбирает поэтому для следующей партии вновь стратегию кооперации. Игрок 1 ожидая такое поведение игрока 2 выбирает для следующей игры стратегию некооперирования, т. е. обманывает игрока 2.

Таким образом, игрок 1 получает более высокую сумму платежа, чем при стратегии кооперирования. В третьей партии игрок 2 может попробовать «отомстить» и не кооперировать и т. д. Игроки оказываются перед проблемой выбора стратегии кооперации или не кооперации и ритма смены стратегий.

Конечное число партий

Рассмотрим игру с частичным равновесием Нэша с конечным количеством партий, которое знакомо игрокам. В данном случае для каждого из игроков будет рациональным в последней партии играть в соответствии со стратегией Нэша, т. е. не кооперировать, так как более не будет партий, в которых другой игрок мог бы «отомстить». В последней партии, т.о., все игроки не будут кооперировать. Поэтому для всех игроков также выгоднее не кооперировать уже в предпоследней игре, так, как в последней партии последует «отмщение» со стороны другого игрока. С помощью индуктивного метода можно прийти к заключению, что все игроки не будут кооперировать уже в первой партии, т. е. во всех партиях будет применяться стратегия равновесия Нэша.

Бесконечное число партий

Аргументация, приведенная выше, не может быть применена при бесконечном числе партий игры или в случае, если число партий ограничено, но неизвестно игрокам. Как в таком случае будет выглядеть оптимальная стратегия игроков? Роберт Аксельрод проводил компьютерные имитации для представленной ниже ситуации, соответствующей дилемме заключенных.

Он переписывался с ведущими специалистами по теории игр и просил их определить оптимальные стратегии для игры состоящей из нескольких партий, число которых неизвестно. Кроме того, Аксельрод получил множество стратегий от психологов, экономистов, политологов, математиков и социологов. Он проигрывал для каждой из стратегий 200 партий с помощью имитационной программы, причем каждая из стратегий играла против всех других и против самой себя.

3. Игры по характеру предварительной договоренности

Кооперативные игры.

Игра называется кооперативной, если в ней игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях (добровольный обмен между игроками информацией, совместный выбор стратегий, передача игроками части выигрыша друг другу и т. п.);

Иначе говоря, игроки могут образовывать коалиции. Теория кооперативных игр исследует типы коалиций, образующихся в процессе игры и условия, необходимые для их устойчивого существования.

Теория бескоалиционных игр была в основных чертах построена Нэшем. Основным ее результатом является теорема о существовании ситуаций равновесия, т. е. таких ситуаций, в которых ни один из игроков не заинтересован в изменении предписанной ему в этой ситуации стратегии, если все остальные игроки оставляют свои стратегии неизменными. Таким образом, ситуации равновесия в бескоалиционных играх удовлетворяют, тем необходимым условиям устойчивости, которые позволяют делать эти ситуации предметом предварительной договоренности между игроками.

3. Отнесение выигрышей к отдельным игрокам и предположение о независимости их действий, хотя и упрощают математическую сторону вопроса, но ограничивают возможности практических приложений получаемых результатов. Эти возможности расширяются, когда мы вводим в рассмотрение коалиционные игры.

Учет коллективных выигрышей и совместных действий групп игроков приводит к необходимости построения более широких теорий. Излагаемая в настоящей работе теория коалиционных игр является первым шагом в этом направлении.

Участниками коалиционных игр являются коалиции, т. е. коллективы, выделяемые из общего множества участников игры либо едиными целями, либо возможностью совершать совместные действия, либо тем и другим. Если бы такие коалиции попарно не пересекались, то, как легко видеть, каждую коалицию можно было бы рассматривать как одного участника игры и анализировать действия коалиций с точки зрения классической теории бескоалиционных игр.

Однако возможность взаимных пересечений коалиций означает, что в одной и той же коалиции одни игроки могут принадлежать какой-то другой коалиции, а другие игроки — нет. Далее, отсюда же следует, что игрок, участвующий в различных коалициях, может иметь, именно как участник различных коалиций, различные, противоречащие друг другу интересы; кроме того, этому игроку приходится одновременно участвовать в нескольких коллективных действиях.

Мы будем предполагать, что коалиции составлены до начала игры (т. е., что их состав уже обусловлен правилами игры), так что никакие причины, приведшие к появлению игрока в той или иной коалиции или побуждающие его вступить в коалицию, нами, независимо от их характера, рассматриваться не будут.

Как выяснится далее, структура коалиций является принципиально важной составной частью задания каждой конкретной коалиционной игры.

Более того, нам придется ограничиться рассмотрением игр, на коалиционные структуры которых наложены некоторые ограничения.

Некооперативные игры

Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.

Некооперативная игра в нормальной форме Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка, где — множество участников игры (сторон, игроков); - множество стратегий участника; - функция выигрыша участника, определенная на множестве ситуаций и отображающая его во множество действительных чисел.

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.

1. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают из множеств свои стратегии. Вектор стратегий всех игроков представляет собой ситуацию в игре.

2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции, на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой форме Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра — ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:

§ начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);

§ промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;

§ терминальные, имеющие только входящие ребра.

Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева, соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок, совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока. Каждому ходу соответствует ребро, выходящее из вершины .

Для учета несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.

Для каждой вершины, соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков .

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:

1. Игра начинается из начальной позиции.

2. В любой нетерминальной позиции игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход, в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу. Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.

3. Если игра попадает в терминальную позицию, то все игроки получают выигрыши, и игра завершается.

Принципы оптимальности Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:

§ равновесие дрожащей руки;

§ собственное равновесие;

§ сильное равновесие.

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:

§ е-равновесие;

§ равновесие в доминирующих стратегиях;

§ решение игры по доминированию;

§ равновесие в осторожных стратегиях.

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:

§ равновесие, совершенное по под-играм;

§ секвенциальное равновесие;

§ сильное секвенциальное равновесие.

Примеры

§ Дилемма заключённого

§ Трагедия общин

4. Бесконечные и конечные игры

Существует, по меньшей мере, два типа игр. Один можно назвать конечными играми, а другой — бесконечными.

В конечные игры играют с целью добиться выигрыша, а в бесконечные — для того чтобы продолжать играть.

Конечная игра может быть выиграна кем-либо только тогда, когда она придет к очевидному концу. Заканчивается же она когда кто-либо выиграл.

А узнаем мы о том, что игра кем-то выиграна тогда, когда все игроки согласились кто из них победитель. Никакой другой критерий, кроме как согласие среди игроков о победителе, абсолютно не важен в определении победителя. игра стратегия минимакс антагонистический Может казаться, что одобрение зрителей или судей также важно для выбора победителя. Однако если сами игроки не определились в своем выборе, это просто означает, что игра еще не закончилась — и игроки еще не достигли изначальной цели игры. Даже если внешние обстоятельства вынудили их покинуть игровое поле и препятствуют продолжению игры, игроки не будут считать игру законченной.

Предположим, что все игроки согласны, что игра закончилась, но судьи и зрители — нет. Пока их не убедят, что их согласие было ошибкой, они не возобновят игру — более того, они не смогут продолжить игру. Невозможно представить игроков возвращающихся на игровое поле и искренне продолжающих играть, если они убеждены, что игра уже закончена.

Если игроки, не по своей воле, вынуждены участвовать в игре — это не конечная игра. Никто не может играть по принуждению.

Это неизменный принцип любых игр, конечных или бесконечных, — тот кто играет, играет по своей воле. Тот кто вынужден играть, не в состоянии играть.

Так же как это важно чтобы конечная игра имела выраженное окончание, она должна иметь четко определенное начало. Поэтому о конечных играх можно говорить как о имеющих временные границы — с определением которых, конечно, все игроки должны быть согласны. Но игроки так же должны иметь согласие об установке пространственных и численных границ. То есть игра должна проходить внутри «размеченного поля» и с определенным количеством игроков.

Пространственные границы, очевидно, просматриваются в любом конечном противостоянии, начиная с простейших настольных или дворовых игр, до мировых войн. Противники во Второй Мировой Войне договорились не бомбить Хейльдерберг и Париж, и согласились вывести Швейцарию вовне рамок конфликта.

Когда одна из сторон конфликта прибегает к излишним и не необходимым разрушениям, встает вопрос о легитимности победы этой стороной, или даже вопрос была ли это война, а не просто беспричинное не мотивированное насилие. Когда генерал Шерман буквально выжег себе путь от Атланты до побережья, он настолько проигнорировал правила пространственного ограничения, что в глазах многих Гражданская Война была выиграна Северянами нелегитимно, и на самом деле еще не завершена.

Только один игрок или команда может выиграть конечную игру, однако остальные участники вполне могут быть ранжированы по степени успеха в конце игры.

Не всякий может стать президентом корпорации, однако некоторые, кто боролись за эту должность, могут стать заместителями, или региональными менеджерами.

Существует много игр которые мы и не ожидаем выиграть, однако играя в которые мы надеемся на зарабатывание наиболее возможного количества очков.

Бесконечные игры — идентичны конечным, в одном, и только одном свойстве. Об игроках бесконечных игр мы также можем сказать, что если они играют, то делают это без принуждения; если они вынуждены играть, они не могут играть.

Во всех остальных отношениях, бесконечные и конечные игры представляют собой диаметральные противоположности.

Игроки в бесконечные игры не только не могут сказать, когда началась их игра, но и им это безразлично. А безразлично им это потому, что их игра не ограничена временем. Более того, единственная цель их игры — это предотвратить ее окончание, сделать так чтобы каждый продолжал играть.

В бесконечных играх нет ни пространственных, ни количественных ограничений. Ни один мир не расчерчен границами игрового поля бесконечных игр, и не существует вообще вопроса доступа к игре, так как каждый, кто хочет, может присоединиться к бесконечной игре.

Тогда как конечные игры формализованы извне, бесконечные определены изнутри. Время бесконечной игры — это не мировое время, а время, создающееся внутри самой игры. Так как процесс игры в бесконечную игру стирает границы, он открывает игрокам новое временное измерение.

Поэтому не имеет смысла спрашивать, как долго уже играется эта бесконечная игра, или как долго она может продолжаться, так как временные интервалы могут быть измерены только извне протекающего процесса. Также невозможно сказать в каком мире протекает бесконечная игра, хотя внутри нее может существовать любое количество вложенных миров.

Конечные игры могут разыгрываться внутри бесконечной игры, в то время как бесконечные игры не могут играться внутри конечных.

Игроки в бесконечные игры относятся к своим победам и поражениям в конечных играх, которые они играют внутри бесконечной игры, не более как мгновениям в бесконечной цепи событий.

Если конечные игры должны быть ограничены извне временными, пространственными и количественными рамками, они также должны иметь внутренние ограничения на то, какие действия игроки могут совершать по отношению друг к другу. Согласится на такие внутренние ограничения, значит установить правила игры.

У каждой конечной игры будут разные правила. На самом деле, только узнав правила игры, мы можем определить, что же это за игра.

Что устанавливают правила игры, так это набор ограничений возлагаемых на игроков: каждый игрок должен, например, стартовать из-за белой линии, или выплатить все долги до конца месяца, взимать оплату с пациентов не более того что они могут реально заплатить, или вести машину в правой полосе.

В самом узком смысле, правила — это не законы; они не предписывают определенное поведение, а только ограничивают свободу игроков, оставляя значительное пространство выбора внутри этих ограничений.

Если эти ограничения не соблюдаются, то сам результат игры оказывается под угрозой. Правила конечной игры — это условия контракта, по которым игроки могут определить победителя.

Правила игры должны быть объявлены до начала игры, и игроки должны их принять до того как начнется игра.

Из этого положения проистекает важное последствие для всех конечных игр, а именно: Принятие игроками конкретных правил игры является неоспоримой легализацией этих правил.

Если правила конечной игры уникальны для этой игры, очевидно, что правила игры не могут быть изменены по ее ходу — иначе это будет другая игра.

Именно в этом заключается наиболее критическое отличие между конечными и бесконечными играми. Правила бесконечной игры должны меняться по ее ходу. Правила меняются тогда, когда игроки бесконечной игры соглашаются, что она подвергается опасности закончиться конечным результатом — а именно победой одних игроков и поражением других.

Правила бесконечной игры изменятся для того чтобы предотвратить выигрыш кого-либо, и вовлечь как можно больше участников в саму игру.

Если правила конечной игры являются условиями контракта, в соответствии с которым игроки могут определить победителя, то правила бесконечной игры являются условиями контракта, по которому игроки соглашаются продолжать играть.

По этой причине правила бесконечной игры имеют другой статус, чем правила конечной игры. Они подобны грамматике живого языка, тогда как правила конечной игры похожи на регламент дебатов. В первом случае мы следуем правилам с целью поддержания общения, в последнем же — с целью прекращения речи оппонента.

Правила, или грамматика живого языка постоянно изменяются, чтобы обеспечить содержательность диалога, тогда как правила дебатов должны оставаться неизменны.

Хотя правила бесконечных игр могут меняется по согласию игроков в любой момент по ходу игры, это не означает, что каждое правило будет изменено. Не это делает игру бесконечной.

Правила всегда создаются с целью предотвратить специфические угрозы бесконечности игры. Игроки бесконечных игр используют эти правила для регулирования того как они могут включить ограничения и рамки наложенные на их игру в сам процесс игры.

Часто, могущественные ограничивающие факторы посягаются на правило-созидающий потенциал игроков в бесконечные игры — факторы, такие как физическая усталость, или потеря материальных ресурсов, или враждебность нежелающих участвовать в игре, или сама смерть.

Задача состоит в том чтобы создать такие правила, которые позволили бы игрокам продолжать игру путем вовлечения этих ограничений в саму игру — даже когда смерть является одним из них. Это делает игру бесконечной.

Это эквивалентно высказыванию, что никакие внешние ограничения не могут быть наложены на бесконечную игру. Так как ограничения включаются в игру, сама по себе игра не может быть ограничена.

Игроки в конечные игры играют внутри рамок игры, игроки в бесконечные игры играют с рамками игры.

Заключение

В основе теории игр лежат ситуации принятия стратегических решений. Результат зависит для каждого из игроков и от того, какие стратегии выберут его партнеры по игре. Интересны ситуации, когда кооперация выгодна для всех, но каждый из игроков пытается выиграть за счет другого (других), не вступая в кооперацию. Когда все ведут себя, таким образом, тогда все оказываются в худшем положении по сравнению с тем, которое было бы достигнуто при кооперировании. Многие экономические, военные, политические, биологические ситуации могут быть представлены в виде подобных игр.

Таким образом, теория игр стала одним из ведущих математических методов экономики и других областей науки. Награждение нобелевской премией 1994 года в области экономики Харшаньи, Нэша и Штерна за работу в области теории игр указывает на то, что здесь в последние годы было достигнуто очень много.

Список использованной литературы

1. Бесконечные антагонистические игры, под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1963.

2. Книга «Конечных и Бесконечных Игр» Джеймса Карса.

3. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5−06−1 005−8, 5−8013−0007−4

4. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.

5. Политика. Толковый словарь. — М.: «ИНФРА-М», Издательство «Весь Мир» . Д. Андерхилл, С. Барретт, П. Бернелл, П. Бернем, и др. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И. М. 2001.

6. «КОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ» Н. Н. ВОРОБЬЕВ, 1967

7. http://economicus.ru/site/grebenikov/E_Micro/chap6/GamesTh/gt3.html

8. http://economicus.ru/site/grebenikov/E_Micro/chap6/GamesTh/gt6.html