Моделирование Решения уравнения Колмогорова Пискунова Петровского

Это условие соответствует неравенству. Соответствующее характеристическое уравнение

.

Решая его, находим собственные значения

.

Как видно, если

имеем два собственных значения, которые вещественны и имеют разные знаки. В этом случае точка фазовой плоскости будет является седловой, в которую под некоторым углом входит искомая интегральная кривая. Если

имеем два собственных, которые комплексны и не чисто мнимы. В этом случае точка фазовой плоскости будет являться неустойчивым фокусом (траектория имеет вид спирали) [2].

Наконец, исследуем особую точку. Линеаризуя систему (7) вблизи точки, получаем

. (12)

где. Соответствующее характеристическое уравнение

.

Решая его, находим собственные значения

.

Если

точка фазовой плоскости будет является седловой. Если же

точка фазовой плоскости будет являться неустойчивым фокусом.

В заключение отметим, что в общем случае аналитического решения уравнения КПП нет, однако достаточно просто оно может быть решено численными методами [3].

Литература

Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов. Дифференциальные уравнения математической физики. Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2002

Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва. Наука, ФМЛ. 1974

В.И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. Начала теории вычислительных методов. Уравнения в частных производных. Минск. Наука и техника. 1986