Логарифмические уравнения

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером (1550−1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги (1552−1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614 г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620 г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18 В. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата — «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») — со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b. (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a? 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N₁· N₂ = log_a N₁ + log_a N₂ (a > 0, a? 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если N₁· N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N₁· N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂| (a > 0, a? 1, N₁· N₂ > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a? 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если, (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a? 1, N₁N₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N ^k = k log_a N (a > 0, a? 1, N > 0).

Замечание. Если k — четное число (k = 2s), то

log_a N ^2s = 2s log_a |N| (a > 0, a? 1, N? 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a? 1, b > 0, b? 1, N > 0),

в частности, если N = b, получим

(a > 0, a? 1, b > 0, b? 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a? 1, b > 0, c? 0), (3)

(a > 0, a? 1, b > 0, c? 0), (4)

(a > 0, a? 1, b > 0, c? 0), (5)

и, если в (5) c — четное число (c = 2n), имеет место

(b > 0, a? 0, |a|? 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x₁ < x₂ log_a x₁ < log_a x₂), а при 0 < a < 1, — строго убывает (0 < x₁ < x₂ log_a x₁ > log_a x₂).

4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a? 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x? (0;1) и отрицательна при x (1;+?).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) — выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться «чужие» решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и log_a f(x) = log_a g(x)

или

log_a [f(x)· g(x)] = b и log_a f(x) + log_a g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a? 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, b = a^c и, следовательно,

5 + 3log₂(x — 3) = 2³

или

3log₂(x — 3) = 8 — 5, log₂(x — 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x — 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 — 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x — 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

(x — 2)² = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x² — 4x — 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² — 8x + 15) = (2x + 1)²

или, после элементарных преобразований,

x² + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x? (0;+?) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x² — 4x + 1 = ¹/₂(x² — 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x² — 2x — 3 = 0

с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x? (0;+?). Используя свойство P5, получим уравнение

log₂x(1 + log₃2) = 1,

откуда или или log₂x = log₆3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков? , <, ?. В этом случае утверждения 1−3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

Решение. a) Используя утверждение 1, получим

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Показательные уравнения и неравенства

1. Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению

Пример 1. Решить уравнение

.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

.

Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:

Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y,используя решение простейшего показательного уравнения.

2. Показательные неравенства

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) > g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x); f(x) < g(x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) < g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x); f(x) > g(x).

A.3. Неравенство

равносильно совокупности систем неравенств

Замечание. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b? 0, неравенство

a^f(x) < b

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b? 0, множеством решений неравенства a^f(x) > b является x D(f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^f(x) > b

равносильно неравенству

f(x) > log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b; f(x) < log_ab.

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a ^f(x) > b

равносильно неравенству

f(x) < log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b; f(x) > log_ab.

Упражнение 1. Решить неравенства:

Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство

которое решается методом интервалов,

b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство

|2x-3| > |3x+4|,

которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b|? (a-b)(a+b) > 0):

|2x-3| > |3x+4| ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-¹/₅).

c) Используя утверждение A.3, получим

Заключение

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни — редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

1. Курош А. Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

2. Штейн Е. А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. — Аванта+, 1998.

4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». — М.: Наука, 1980

5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». — М.: Наука, 1970