Использование экономико-математических моделей

Минский Государственный Высший Радиотехнический Колледж Контрольная работа № 1

по дисциплине «Экономико-математические методы и модели»

Помазанко А.К.

гр.94 381

Минск 2009

1. Задание 1

Построить ЭММ равновесия для задачи о поиске лучших вариантов использования ресурсов при заданных затратах и ценах.

Задача. Предприятие ежемесячно имеет ресурсы трех типов Р₁, P₂, P₃, объемы которых определяются величинами 2600, 1800, 500. Из этих ресурсов предприятие может организовать производство четырех видов изделий П₁ П₂, П₃, П₄, причем продукция может производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен). Расход i-го ресурса на производство единицы j-го изделия равен a_ij, прибыль от реализации единицы j-го изделия равна c_j.

Выполнить эконометрический анализ полученной модели:

1) привести полученную задачу линейного программирования к каноническому виду. Объяснить смысл введенных балансовых переменных;

2) найти оптимальный ассортиментный план производства, при котором расход ресурсов не превысит имеющегося количества, а суммарная прибыль будет максимальной. Дать экономическую интерпретацию полученного результата;

3) составить двойственную задачу для исходной. Определить, при каких ценах на ресурсы их продажа будет не менее выгодна, чем продажа готовой продукции, вошедшей в оптимальный план;

4) определить дефицитность сырья и увеличение прибыли при изменении его объема на единицу;

5) оценить целесообразность введения в план производства нового вида изделия П₅, если норма затрат i-го ресурса на производство единицы новой продукции равна a_i5, а прибыль от реализации единицы продукции равна 6.

Исходные данные:

c₁ = 2; c₂ = 4; c₃ = 1; c₄ = 2;

a₁₅ = 1; a₂₅ = 3; a₃₅ = 1.

Решение Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄ — количество единиц продукции соответственно П₁, П₂, П₃, П₄, планируемой к выпуску, а через f — величину прибыли от реализации этой продукции. Тогда, учитывая значения прибыли от единицы продукции П₁, П₂, П₃, П₄ соответственно, суммарная величина прибыли — целевая функция — запишется в следующем виде:

f = 2х₁, + 4х₂ + х₃ + 2х₄ (max). (5.1)

Переменные х₁, х₂, х₃, х₄ должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов.

(5.2)

По смыслу задачи:

x_j? 0; (j = (5.3)

Соотношения (5.1)-(5−3) образуют экономико-математическую модель задачи. Математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃*, х₄*, удовлетворяющих линейным неравенствам (5.2) и (5.3) и доставляющих максимум линейной функции (5.1).

1) Приведем модель к канонической форме: запишем ограничения задачи в виде равенств. Для этого введем в левые части неравенств дополнительные неотрицательные переменные х₅, х₆, х₇, обозначающие разности между правыми и левыми частями этих неравенств (возможные остатки ресурсов):

f = 2х₁, + 4х₂ + х₃ + 2х₄ (max)

(5.4)

x_j? 0; (j =

В модели (5.4) переменные х₅, х₆, х₇ являются базисными, а переменные х₁, х₂, х₃, х₄ — свободными.

2) Найдем оптимальный ассортиментный план производства, при котором расход ресурсов не превысит имеющегося количества, а суммарная прибыль будет максимальной.

Составим первую симплекс-таблицу (табл. 5.1):

Таблица 5.1

Все элементы столбца свободных членов положительны, поэтому содержащийся в табл. 5.1 план (0;0;0;0;2600;1800;500) является опорным, но он не оптимален, так как в fстроке имеются отрицательные элементы. Чтобы получить опорный план, более близкий к оптимальному, выполним симплексное преобразование табл. 5.1. С этой целью выберем элементы, участвующие в преобразовании базиса х₅, х₆, х₇ в новый базис. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-4) fстроки указывает, что в новый базис следует ввести переменную х₂, т. е. в качестве разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять второй столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее из них:

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в третьей (разрешающей) строке, т. е. — х₇. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 1, с которым и выполняется симплексное преобразование. В результате преобразований приходим к другой таблице (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Симплексные преобразования — это правила пересчета элементов симплекс-таблицы при переходе к новому опорному плану и заключаются они в следующем:

1) разрешающий элемент заменяется обратной величиной;

2) остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3) остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знаки;

4) все остальные элементы таблицы вычисляются по формуле;

где — элемент новой таблицы, стоящий в i-й строке j-м столбце на месте элемента ;

— пересчитываемый элемент;

— соответствующий элемент разрешающей строки;

— соответствующий элемент разрешающего столбца;

a_ks — разрешающий элемент.

В f-строке табл. 5.2 отрицательных элементов нет, следовательно, опорный план (0;500;0;0;100;300;0) является оптимальным, а соответствующее ему значение 2000 целевой функции будет максимальным.

Итак, по оптимальному плану следует изготовить 500 единиц продукции П₂, а продукцию П₁, П₃, и П₄ производить не следует (не выгодно). При этом предприятию будет обеспечена максимальная прибыль в размере 2000 ден. ед. Останутся неиспользованными 100 единиц ресурса P₁, 300 единиц ресурса Р₂, а ресурс Рз будет израсходован полностью.

3) Чтобы составить модель двойственной задачи, запишем матрицу исходной задачи (5.1)—(5.3) в следующем виде:

(5.5)

Транспонируем матрицу (5.5). В результате получим матрицу (5.6) двойственной задачи:

(5.6)

о матрице (5.6) напишем модель задачи, двойственной к исходной,

= 2600у₁, + 1800y₂ + 500yз -+ (min), (5.7)

(5.8)

y_i? 0; (i = (5.9)

Сформулируем в экономических терминах двойственную задачу. Предположим, что некоторая организация хочет закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие. Необходимо определить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из естественного условия, что покупающая организация стремится минимизировать общую оценку ресурсов. Учтем тот факт, что за ресурсы покупающая организация должна уплатить сумму, не меньшую той, которую может выручить предприятие при организации собственного производства продукции.

Итак, целевой функцией является общая оценка ресурсов, которую требуется минимизировать,

= 2600y₁, + 1800y₂ + 500y₃ >(min)

у_i, — цены на эти ресурсы (i =).

Из теорем двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то одновременно найдено решение и другой задачи. Компоненты оптимального плана этой задачи у_: находятся в строке целевой функции последней симплекс-таблицы решенной задачи (табл. 5.2). Выписать компоненты поможет соответствие между переменными двойственных задач. Для этого преобразуем ограничения-неравенства в эквивалентные уравнения, вычитая из левых частей дополнительные неотрицательные переменные у₄, y₅, y₆, y₇, равные разностям между левыми и правыми частями этих неравенств. Тогда модель (5.7)-(5.9) запишется в виде:

= 2600y₁, + 1800y₂ + 500y₃ >(min)

y_i? 0; (i =

В этой модели переменные у₄, y₅, y₆, y₇ являются базисными, а переменные у₁, y₂, y₃ — свободными. Сопоставим базисным переменным одной задачи свободные переменные двойственной задачи и наоборот:

Воспользовавпшсь соответствием, устанавливаем:

у₁* = 0; у₂* = 0; у₃* = 4; у₄* = 10; у₅* = 0; у₆* = 7; у₇* = 14.

Из теорем двойственности следует Итак, оптимальные цены на ресурсы составляют:

— на единицу ресурса вида Р₁: у₁* = 0 ден. ед.;

— на единицу ресурса вида Р₂: у₂* - 0 ден. ед.;

— на единицу ресурса вида Р₃: у₃* - 4 ден. ед., т. e. при ценах у₁* = 0; у₂* = 0; у₃* = 4 на ресурсы соответствующего типа продажа их принесет ту же прибыль (2000 ден. ед.), как и в случае продажи готовой продукции, вошедшей в оптимальный план.

4) Полученные условные оценки у₁*, у₂*, у₃*являются мерой дефицитности ресурсов. Так как в нашей задаче у₁* = у₂* =0, то ресурсы первого и второго типов недефицитны, они оказались в избытке, а оценка у₃*=4 говорит о дефицитности ресурса третьего типа. Если положительных оценок в задаче несколько, то большей условной оценке соответствует наиболее дефицитный ресурс.

Условные оценки показывают, что увеличение сырья третьего типа на единицу приведет к увеличению прибыли на 4 ден. ед., и ее общая сумма станет равной 2004 ден. ед. Увеличение же на единицу сырья первого и второго типов не приведет к росту прибыли, так как ресурсы этих типов имеются в избытке.

В случае организации производства 500 единиц продукции второго вида сумма прибыли составит 2000 руб. При этом остается сырье: первого типа — 100 единиц, второго — 300 единиц.

5) Если в план включаются новые виды продукции, то оценка целесообразности их введения определяется по формуле:

где — объем ресурсов i-го типа, которые требуются напроизводство единицы продукции j-го вида;

— прибыль от реализации единицы продукции j-гo вида.

В нашей задаче Так как < 0, то прибыль превышает затраты и введение в план производства пятого вида изделия целесообразно.

2. Задание 2

экономический математический кредитный конфликтный игра Построить ЭММ распределения запасов продукции с точки зрения минимальных транспортных затрат.

Задача. Готовая продукция заводов Аi, (i = 1,3) направляется на склады В_j(j = 1,4). Заводы Аi, производят а_i, тыс. изделий с себестоимостью единицы продукции c₁. Пропускная способность складов Вj, за это время характеризуется величинами b_j, тыс. изделий. Стоимость перевозки с завода Аi, на склад Bj одной тысячи изделий равна с_1j.

Выполнить эконометрический анализ полученной модели:

1) найти план перевозки готовой продукции с заводов на склады с минимальными затратами методом потенциалов;

2) найти величину f_min минимальных суммарных затрат на изготовление и доставку продукции;

3) определить, на каком заводе и в каком количестве останется нераспределенная продукция (или какой склад не будет загружен полностью и в каком объеме);

Исходные данные:

а₁ = 400; а₂ = 300; а₃, = 500;

с₁, = 2; с₂ = 3; с₃, = 1;

b₁, =350; b₂=250; b₃ =150; b₄ =250;

Решение Построим математическую модель задачи.

Обозначим через х_ij — количество единиц продукции, которое планируется перевезти с завода Ai (i =на склад Bj (j =, a через fсуммарные затраты на ее изготовление и доставку.

Суммарная мощность пунктов производства составляет:

400 + 300 + 500=1200.

Суммарная пропускная способность складов составляет:

350 + 250+ 150 + 250=1000.

Замечаем, что суммарная пропускная способность складов меньше суммарной мощности пунктов производства:

1000< 1200.

Таким образом, условие закрытости модели не выполняется, поэтому надо вводить фиктивный склад В₅ с возможным спросом:1200−1000=200 и стоимостью перевозок Сi₅= 0 (i =.

После введения фиктивного склада открытая модель задачи преобразовалась в закрытую.

Составим распределительную таблицу (табл. 5.3), в которой стоимость изготовления и доставки единицы продукции с завода А_i (i = на склад Bj (j =

Таблица 5.3

Экономико-математическая модель задачи примет вид:

— суммарные затраты:

; (5.10)

— условия полной отгрузки продукции со всех пунктов производства:

(5.11)

— условия полной загрузки всех складов:

(5.12)

— условия неотрицательности переменных:

x_{i j}? 0; (i = (5.13)

Таким образом, задача сводится к нахождению решения () системы линейных уравнений (5.11), (5.12), доставляющих минимум линейной функции (5.10).

1) Решим данную задачу транспортного типа методом потенциалов.

Критерием оптимальности задачи минимизации является отсутствие в заключительной таблице свободных клеток с отрицательными оценками. В табл. 5.4 построен начальный опорный план методом минимального элемента.

Таблица 5.4

Число занятых клеток равно 7, совпадает с m+n-1=3+5−1=7 — опорный план невырожденный.

Для исследования плана на оптимальность необходимо найти оценки свободных клеток. Для этого надо знать потенциалы Ui, и Vj, которые определим в результате решения системы уравнений

составленных по заполненным клеткам. Получаем

U₁ =0;U₂ =4; U₃ =3;V₁ = 4; V₂ = 1; V₃ = 6; V₄ = 3;V₅ =-2.

Найдем оценки свободных клеток:

S_ij= С_ij'- (U_i+V_j);

S₁₂ =8-(0+l) = 7; S₁₄ =9-(0 + 3) = 6; S₁₅ = 2-(0−2) = 4;

S₂₁ =9-(4 + 4) = l; S₂₄ = 4-(3 + 3) = -2; S₂₅ = 3-(4−2) = 1;

S₃₂=ll-(3 + l) = 7; S₃₃=8-(3 + 6) = -l;

Поскольку среди оценок имеются отрицательные, то план неоптимален и его можно улучшить, занимая клетку с максимальной по модулю отрицательной оценкой (2,4). В табл. 5.4 для этой клетки построен замкнутый контур, по которому находим величину для занимаемой клетки (2,4). Прибавляя в положительных клетках и вычитая в отрицательных, получаем новый опорный план, содержащийся в табл. 5.5.

Таблица 5.5

S_ij= С_ij'- (U_i+V_j);

S₁₂ =8-(0 + 4) = 4; S_I4 = 9-(0 + 3) = 6; S₁₅ =2-(0−2) = 4;

S_2l =9-(l+4) = 4; S₂₃ =10-(l + 6) = 3; S₂₅ =3-(l-2) = 4;

S₃₂ = ll-(3 + 4) = 4; S₃₃ = 8-(3 + 6) = -l.

Поскольку среди оценок имеются отрицательные, то план неоптимален и его можно улучшить, занимая клетку (3,3). В табл. 5.5 для этой клетки построен замкнутый контур, по которому находим величину для занимаемой клетки (3,3). Прибавляя в положительных клетках и вычитая в отрицательных, получаем новый опорный план, содержащийся в табл. 5.6.

Таблица 5.6

S_ij= С_ij'- (U_i+V_j);

S₁₂=8-(0 + 5) = 3;S_I4=9-(0 + 4) = 5;S₁₅=2-(0-l) = 3;

S₂₁=9-(0 + 4) = 5; S₂₃ =10-(0 + 6) = 4; S₂₅ = 3-(0−1) = 4;

S₃₁ =7-(2 + 4) = 1; S₃₂ = 11-(2 + 5) = 4.

Клеток с отрицательными оценками в табл. 5.6 нет. Следовательно, в ней содержится оптимальный план.

2) Этому плану соответствуют минимальные суммарные затраты:

f_min = 4 * 350 + 6 * 50 + 5 * 250 + 4 * 50 + 8 * 100 + 6 *200 + 1*200 = 5350 ден, ед.

По этому плану перевозок завод А₁ должен 350 единиц продукции доставить на склад B₁ и 50 единиц продукции доставить на склад B₃, завод A₂ должен 250 единиц продукции доставить на склад В₂ и 50 единиц продукции доставить на склад В₄; завод A₃ должен 100 единиц продукции доставить на склад В₃ и 200 единиц продукции доставить на склад В₄. При этом суммарные затраты будут минимальными и составят 5350 ден. ед.

3) Нераспределенная продукция в объеме 200 единиц останется на заводе А₃.

3. Задание 3

Построить ЭММ распределения кредитных средств между филиалами торговой фирмы с точки зрения максимального товарооборота.

Задача. Торговой фирме выделяется банковский кредит в размере С = 100 млн. ден. ед., который следует распределить между четырьмя филиалами фирмы А_n (n = 1,4). Известно, что кредитные средства х, вложенные в филиал А_n, увеличивают товарооборот на g_n(x) (0? х? С).

Выполнить эконометрический анализ полученной модели:

1) распределить кредитные средства С между филиалами, чтобы суммарный прирост товарооборота достиг максимальной величины;

2) найти величину максимального суммарного прироста товарооборота.

Исходные данные:

Таблица 5.7. В млн. ден. ед.

Решение

1) Рассмотрим вначале поставленную задачу как многошаговую. Будем рассматривать эффективность вложения кредитных средств на одном, скажем, первом филиале, далее — на двух филиалах (первом и втором), затем — на трех филиалах (первом, втором и третьем), и, наконец, на всех четырех филиалах вместе.

Пусть х, млн. ден. ед. — объем капиталовложений в i-й филиал (i =. Тогда задача состоит в определении наибольшего значения функции при условии х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 100, х_i? 0 (i =.

Рекуррентное соотношение Беллмана в нашем случае приводит к следующим функциональным уравнениям:

₁(x) = g₁(x) при n = 1;

_n© = при п = 2, 3, 4.

0? x? с В соответствии с вычислительной схемой динамического программирования рассмотрим сначала случай п = 1, т. е. предположим, что все имеющиеся кредитные средства выделяются на один филиал. Обозначим f₁ (х) — максимально возможный прирост товарооборота на этом филиале, соответствующий выделенной сумме х. Тогда при п = 1:

₁(x) = g₁(x) (5.14)

По формуле (5.14) находим f₁© (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Предположим теперь, что средства распределяются между двумя филиалами: п = 2. Обозначим ₂(x) — максимально возможный прирост товарооборота на первом и втором филиале, соответствующий выделенной им сумме х. Тогда при п = 2:

₂© = (5.15)

0? x? с Очередная задача — найти значения функции (5.15) для допустимых комбнаций С и. Расчеты и их результаты приведены в табл. 5.9.

Таблица 5.9

В каждую клетку таблицы вписываем значение суммы g₂(x)+f₁(c-x), g₂(x) берем из таблицы условия (табл. 5.7), f₁ (с — х) берем из табл. 5.8.

В два последних столбца таблицы вписываем f₂(c) — максимальный по строке прирост товарооборота и соответствующую ему сумму средств, выделяемую второму филиалу х₂ ©.

Предположим теперь, что средства распределяются между тремя филиалами: п = 3. Обозначим ₃(с) — максимально возможный прирост товарооборота на первом, втором и третьем филиалах, соответствующий выделенной им сумме х. Тогда при п = 3:

₃© = (5.16)

0? x? с Очередная задача — найти значения функции (5.16) для допустимых комбинаций С и х. Расчеты и их результаты приведены в табл. 5.10.

Таблица 5.10

В каждую клетку таблицы вписываем значение суммы g₃(x)+f₂(c-x), g₃(x) берем из таблицы условия (табл. 5.7), f₂ (с — х) берем из табл. 5.9.

В два последних столбца таблицы вписываем f₃ (с) — максимальный по строке прирост товарооборота и соответствующую ему сумму средств, выделяемую третьему филиалу х₃ ©.

Предположим теперь, что средства распределяются между всеми четырьмя филиалами: п = 4. Обозначим f₄(с) — максимально возможный прирост товарооборота на всех четырех филиалах, соответствующий выделенной им сумме х. Тогда при п = 4:

₄© = (5.17)

0? x? с Очередная задача — найти значения функции (5.17) для допустимых комбинаций С и х. Расчеты и их результаты приведены в табл. 5.11.

Таблица 5.11

В каждую клетку таблицы вписываем значение суммы g₄(x)+f₃(c-x), g₄(x) берем из таблицы условия (табл. 5.7), f₃ (с — х) берем из таблицы 5.10.

В два последних столбца таблицы вписываем f₄ (с) — максимальный по строке прирост товарооборота и соответствующую ему сумму средств, выделяемую четвертому филиалу х₄ ©.

На основе расчетных таблиц (табл. 5.9−5.11) составляем сводную таблицу (табл. 5.12).

Таблица 5.12

Теперь распределяем 100 млн. ден. ед. между четырьмя филиалами так, чтобы суммарный прирост товарооборота достиг максимальной величины. Из табл. 5.12 видно, что наибольший прирост товарооборота при распределении 100 млн. ден. ед. (с = 100) составляет 85 млн. ден. ед. (f₄ (100) = 85). При этом четвертому филиалу должно быть выделено 20 млн. ден. ед. (х₄(100) = 20), а остальным трем 100 — 20 = 80 млн. ден. ед. Из той же таблицы видно, что оптимальное распределение оставшихся 80 млн. ден. ед. (с = 80) между тремя филиалами обеспечит общий прирост товарооборота на сумму 69 млн. ден. ед. (f₃,(80) = 69) при условии, что третьему филиалу средств не выделять (х₃ (80) = 0), а первому и второму выделить 80 млн. ден. ед. Из той же таблицы видно, что оптимальное распределение оставшихся 80 млн. ден. ед. (с = 80) между двумя филиалами обеспечит общий прирост товарооборота на сумму 69 млн. ден. ед. (f₃(80) = 69) при условии, что второму филиалу средств не выделять (х₂ (80) = 0), а первому выделить 80 млн. ден. ед.

2) Итак, максимальный прирост товарооборота на четырех филиалах при распределении между ними 100 млн. ден. ед. составляет 85 млн. ден. ед. и будет получен, если второму и третьему филиалам не выделять, первому выделить 80 млн. ден. ед., четвертому — 20 млн. ден. ед.

4. Задание 4

Построить ЭММ конфликтной ситуации игры с природой.

Задача. Исходя из условий работы на предстоящий период времени, менеджер фирмы определил как возможные 3 решения А_i (i =), принятие которых зависит от неопределенных факторов, их сочетание соответствует трем возможным состояниям внешней экономической среды П_j (j =), (конъюнктура, действия конкурентов и т. п.). В табл. 5.13 указаны оценки доходов участников фирмы а_ij в зависимости от состояния внешней экономической среды и принимаемого менеджером решения.

Таблица 5.13

Выполнить эконометрический анализ полученной модели:

1) определить решение игры по критериям: Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение коэффициента оптимизма принять равным 0,5);

2) найти решение игры в смешанных стратегиях.

Решение

1) Одним из участников рассматриваемой в задаче ситуации является менеджер фирмы, озабоченный необходимостью принятия одного из четырех решений, исходя из условий работы на предстоящий период времени. Вторым участником игры является природа — внешняя экономическая среда (конъюнктура, действия конкурентов и т. п.), (совокупность объективных неопределенных факторов (П)), которая реализует свои состояния по присущим ей законам.

Если описанной ситуации придать игровую схему, то менеджер фирмы выступает в ней в качестве сознательного игрока, заинтересованного в получении фирмой максимального дохода. Принимая решение 1, 2, 3, 4, менеджер соответственно реализует свои чистые стратегии А₁ А₂, А_з, А₄. Внешняя экономическая среда может реализовать состояния П₁, П₂, П₃ П₄, П₅, П₆.

Описанная ситуация представляет собой статистическую игру.

Платежная матрица игры приведена в табл. 5.14.

Таблица 5.14

а_ij — элемент платежной матрицы: оценка доходов участников фирмы в зависимости от состояния внешней экономической среды и принимаемого менеджером решения, т. е. выигрыш статистика.

Наилучшей будет та стратегия, при которой оценка доходов максимизируется.

Дадим обоснование рекомендации о выборе оптимального решения, когда о вероятности состояния внешней экономической среды Пj ничего определенного сказать нельзя.

Для выбора оптимальной стратегии статистика можно использовать критерии:

— критерий Вальда — это критерий крайнего пессимизма. В соответствии с этим критерием в качестве оптимальной рекомендуется выбирать ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш, т. е. максиминную стратегию.

а — max min aij, .

Найдем элементы a_i =min а_ij:

^j

a₁ =min а_1j=min (8,6,7,5,4,4)=4

^j

a₂ =min а_2j=min (5,5,6,4,3,3)=3

^j

a₃ =min а_3j=min (3,0,1,8,8,0)=0

^j

a₄ =min а_4j=min (5,4,5,5,6,5)=4

^j

? =max min а_1j=max (4,3,0,4)=4

^{i j}

Следовательно, оптимальной по критерию Вальда является чистая стратегия А₁ или A₄;

— критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется, т. е. обеспечивается

min max r_ij .

i j

Построим матрицу рисков [r_ij,], где ri_j=?_j -a_ij ?0, где ?_j — максимально возможный выигрыш статистика при состоянии П_j т. е. ?_j = max а_ij (табл. 5.15). ¹

Таблица 5.15

r = min max г_ij = min (4; 4; 6; 3) = 3

^{i j}

Следовательно, оптимальной по критерию Сэвиджа является чистая стратегия А₄;

— критерий Гурвица рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой выполняется соотношение:

max (?min a_ij, +(l-?)max a_ij), где? = 0,5 — коэффициент оптимизма.

Все промежуточные вычисления приведены в табл. 5.16.

Таблица 5.16

Имеем: max h_i, = max (6; 4,5; 4; 5) = 6.

Следовательно, оптимальной по критерию Гурвица является чистая стратегия A₁.

2) Найдем решение игры в смешанных стратегиях.

Предварительно упростим игру путем удаления доминируемых и дублирующих стратегий. Так как а_1j) > a_2j при всех j = 1,6, то стратегия А₁ доминирует стратегию А₂. Удалим стратегию А₂. В результате выполненного преобразования устанавливаем, что в оптимальных смешанных стратегиях игрока, А компонент ?₂= 0. Итак, получили платежную матрицу меньшего формата (табл. 5.17).

Таблица 5.17

Максимин элементов этой матрицы равен 4, а минимакс равен 5. 11оэтому седловых точек в чистых стратегиях в этой игре нет. Игра имеет решение в смешанных стратегиях. Цена игры: 4 < v < 5. Решим матричную игру методом сведения ее к паре двойственных задач линейного программирования (ЗЛП): составим ЗЛП для каждого игрока.

Предположим, что для игрока, А (менеджера фирмы) оптимальная стратегия задается вектором: х = (?₁, 0, ?₃, ?₄), а для игрока В (внешней экономической среды) — вектором: у =(?₁, ?₂, ?₃, ?₄, ?₅, ?₆).

Так как игрок, А стремится максимизировать цену игры v, то 1/v —> min, следовательно, оптимальная стратегия игрока, А определяется из ЗЛП:

— найти минимальное значение функции f (x) = х₁ + х₃ + х₄ при ограничениях

8х₁ + Зх₃ + 5х₄? 1,

6х₁ + 0х₃ + 4х₄? 1,

7х₁ + 1х₃ + 5х₄ ?1,

5х₁, + 8х₃ + 5х₄? 1,

4х₁, + 8х₃ + 6х₄? 1,

4х₁, + 0х₃ + 5х₄? 1,

х_i?0; (i = 1,4)

Оптимальная стратегия игрока В определяется из ЗЛП:

— найти максимальное значение функции (р (у) = У +у₂ +Уъ + + у₄ + у₅ + у_й при ограничениях

8у_] + 6у₂ + 7у₃ + 5у₄ + 4у₅ + 4у₆? 1,

3у₁+0у₂+1у₃+8у₄+8у₅+0у₆?1,

5у_] + 4у₂ + 5у_л + 5у₄ + 6у₅ + 5у₆?,

y_j?0; (j = 1,6)

Решим пару двойственных ЗЛП симплексным методом.

Приведем модели (5.18) и (5.19) к канонической форме: запишем ограничения задачи в виде равенств. Для этого введем в левые части неравенств дополнительные неотрицательные переменные х₅, х₆, х₇ х₈, х₉, х₁₀ и у₇, y₈ y₉ соответственно, обозначающие разности между правыми и левыми частями этих неравенств:

` (5.20)

(5.21)

В модели (5.20) переменные х₅, х₆, х₇, х₈, х₉, х₁₀ являются базисными, a x₁, x₃, x₄ — свободными.

В модели (5.21) переменные у₇, у₈, у₉ являются базисными, а y₁, y₂, y₂, y₄, y₅, y₆ — свободными.

Сопоставим базисным переменным одной задачи свободные переменные двойственной задачи и наоборот:

Решим ЗИП (5.21) для игрока В.

Составим первую симплекс-таблицу (табл. 5.18):

Таблица 5.18

Выполним последовательно ряд симплексных преобразований (табл. 5,19−5,21);

Таблица 5.19

Таблица 5.20

Таблица 5.21

В ?-строке последней таблицы отрицательных элементов нет, следовательно, опорный план у *= (0; 1/14; 0; 0; 0; 2/14; 0; 1; 0) является оптимальным, а соответствующее ему значение 3/14 целевой функции будет максимальным.

Воспользовавшись соответствием между двойственными переменными, устанавливаем:

х*=(1/14; 0; 2/14; 4/14; 0; 3/14; 17/140; 2/14; 0); fmin =f (х) = 3/14.

Найдем значение игры:

v = 1/ fmin =14/3.

Определим оптимальную стратегию игрока, 4:

Как видно, активными стратегиями игрока, А (менеджера фирмы) являются его чистые стратегии A₁ и А₄.

Итак, менеджер должен принять первое решение с вероятностью 1/3 и четвертое решение с вероятностью 2/3, второе и третье решения принимать вовсе не следует. При этом математическое ожидание оценки доходов фирмы составит 14/3.

5. Задание 5

Построить ЭММ межотраслевого баланса трехотраслевой экономической системы по матрице межотраслевых потоков и вектору конечного использования.

Задача. Для условной экономики, состоящей из трех отраслей, за отчетный период известны межотраслевые потоки и вектор конечного использования Выполнить зконометрический анализ полученной модели:

1) построить схему межотраслевого баланса за отчетный период;

2) рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановом периоде известен валовый выпуск продукции

Привести числовую схему баланса;

3) определить, каким должен быть валовый выпуск продукции отраслей в плановом периоде, если известен выпуск продукции для конечного использования

4) какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение цены на продукцию отрасли 1 в 2 раза на изменение цен в других отраслях? Структуру затрат отчетного периода сформировать самостоятельно, исходя из того, что на заработную плату первой отрасли приходится 0,3%, второй отрасли — 0,35%, третьей отрасли — 0,35% валовой добавленной стоимости. Рост заработной платы отстает от роста цен, коэффициент эластичности заработной платы от цен составляет 0,7. Реальная динамика затрат в прогнозном периоде остается неизменной;

5) какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение зарплаты в отрасли 2 на 30% на увеличение цены продукции отраслей? Заработная плата в остальных отраслях остается неизменной.

Решение

1) Построим схему МОБ за отчетный период. Распределение в отчетном периоде произведенной продукции на нужды текущего производственного и конечного потребления выражается системой уравнений:

где х_{i отч} — валовый выпуск i-й отрасли в отчетном периоде;

^_ промежуточное потребление в отчетном периоде;

y_{i отч} ~~ конечное использование в отчетном периоде.

Отсюда найдем вектор валового выпуска:

Схема МОБ за отчетный период приведена в табл. 5.22.

2) Рассчитаем плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановом периоде известен валовый выпуск продукции Определим коэффициенты прямых затрат Вычисления оформим в виде матрицы

Найдем матрицу «затраты-выпуск»:

Вектор конечного использования определим на основе балансового соотношения:

Определим объемы межотраслевых поставок по формуле

Вычисления оформим в виде матрицы Приведем числовую схему баланса на плановый период (табл. 5.23).

3) Определим, каким должен быть валовый выпуск продукции отраслей в плановом периоде, если известен выпуск продукции для конечного использования Вектор валовой продукции определим на основе балансового соотношения:

Найдем матрицу коэффициентов полных затрат В = (Е-А)^-1. Для этого введем в таблицу Excel матрицу Е-А, а затем с помощью функции МОБР рассчитаем обратную ей матрицу

В=(Е-А)^-1.

Вектор валовой продукции в плановом периоде равен

4) Определим, какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение цены на продукцию отрасли 1 в 2 раза на изменение цен в других отраслях. Структуру затрат отчетного периода сформируем самостоятельно, исходя из того, что на заработную плату первой отрасли приходится 0,3%, второй отрасли — 0,35%, третьей отрасли — 0,35% валовой добавленной стоимости. Рост заработной платы отстает от роста цен, коэффициент эластичности заработной платы от цен составляет 0,7. Реальная динамика затрат в прогнозном периоде остается неизменной.

Валовая добавленная стоимость рассчитана в схеме межотраслевого баланса за отчетный период по формуле

Далее определяем заработную плату в отраслях:

Первый и третий разделы отчетного МОБ представлены в табл. 5.24.

Балансовое соотношение для прогнозирования цен имеет вид:

где p_j— индекс цены г'-й отрасли;

v_ij-i-й элемент добавленной стоимости j-й отрасли.

Величина затрат на продукцию первой отрасли не влияет на формирование цены в этой отрасли, поэтому система балансовых уравнений включает уравнение для второй и третьей отраслей.

Решая систему, определим индексы цен в отраслях:

Таким образом, при увеличении цены в первой отрасли в 2 раза, во второй цена увеличится на 51,02%, в третьей на 46,80%.

5) Рассчитаем, какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение зарплаты в отрасли 2 на 30% на увеличение цены продукции отраслей. Заработная плата в остальных отраслях остается неизменной.

Система балансовых уравнений:

Решая систему, определим индексы цен в отраслях:

Таким образом, при увеличении зарплаты в отрасли 2 на 30%, в первой отрасли цена на продукцию увеличилась на 10,89%, во второй — на 19,36%, в третьей — на 11,27%.

Список используемой литературы

1. Балашевич В. А. Математические методы в управлении производством /В.А. Балашевич. -Мн.: Выш. шк 1976

2. Кузнецов А. В. Высшая математика. — Мн. Выш.шк., 1990

3. Сакович, В. А. Исследование операций /В.А. Сакович, — Мн. Выш.шк., 1985

4. Экономико-математические методы и модели /под общ редакцией А. В. Кузнецова. Мн.-: БГЭУ, 200

5. Математическая Экономика на персональном компьютере /под ред. М. Кубонина.-М.:Наука, 1984