Математическое программирование: предмет, цели, методы

Сущность математического программирования

Математическое программирование — это наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного (или оптимального) управления организационными системами (предприятия, фирмы, банки и др.).

Цель математического программирования — изучение и анализ систем организационного управления, отыскание в них оптимизационных задач, постановка и внедрение которых могут оправдать затраты на создание автоматических систем управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера.

Таким образом, предмет математического программирования — это системы организационного управления (организации), которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений, причем интересы подразделений не всегда согласуются между собой и могут быть противоположными. Одной из существенных особенностей математического программирования является стремление найти оптимальное решение поставленной задачи, количественно обосновывающее принимаемые решения по управлению организациями. Оптимальным решением считается такой способ действия, который в наибольшей степени способствует достижению поставленной в задаче цели.

Решение экономических оптимизационных задач с помощью методов математического программирования базируется на последовательном выполнении ряда взаимосвязанных этапов:

• § экономической (смысловой) постановки проблемы или задачи и подбора исходной информации;
• § разработки математической модели и, при необходимости, последующего преобразования ее до типа разрешимых;
• § нахождение оптимального решения посредством соответствующего метода математического программирования и компьютерной программы;
• § оценки (математической и экономической) полученного решения;
• § проведение экономического эксперимента посредством корректировки условия, модели и повтора решений;
• § анализа расчетов и принятия решения для внедрения.

Первый этап является творческим, наиболее трудным и ответственным. Он слагается из экономической постановки проблемы или задачи и подбора достоверной исходной информации. Требует квалифицированного знания объекта (отрасли, объединения или предприятия, организации и технологии производства и т. п.).

Здесь прежде необходимо сформулировать цель (или несколько целей при более сложных постановках) достижение которой будет свидетельствовать, что проблема решена. Затем, подобрать критерий оптимальности. Под критерием оптимальности понимается экономический, технический или технико-экономический показатель, по которому судят об оптимальности решения, находят наилучшее решение из возможных.

Выбор показателя критерия оптимальности зависит прежде всего от характера и цели решаемой задачи. Например, в задаче требуется определить программу выпуска продукции по ассортименту, которая обеспечивала бы максимальную рентабельность производства. Здесь за критерий оптимальности может быть принят показатель прибыли от реализации продукции. В иных постановках задач могут использоваться и другие показатели: цены, затраты на производство, съем продукции, транспортные расходы и др. В более сложных постановках решаются многокритериальные задачи.

Затем должны быть сформулированы условия, от которых зависит искомое решение, т. е. факторы, влияющие на достижение цели, и их числовые значения, показывающие связь факторов и цели. Так, например, при определении ассортиментной программы, прежде всего, должны быть учтены наличные производственные ресурсы (сырья, материалов, машинного времени, трудовые, энергетические и денежные ресурсы и т. п.), нормы расходования их и другие ограничивающие условия.

Чтобы последующая разработка математической модели была успешной, необходимо выполнять три основных правила:

• § учитывать главные факторы, от которых зависит искомое решение;
• § пренебрегать второстепенными — не определяющими факторами;
• § надо уметь отличать главные факторы от второстепенных.

В этом заключается искусство смысловой экономической постановки решаемой проблемы или задачи.

Исходя из экономической постановки задачи, разрабатывают ее математическую модель. Сущность математического моделирования заключается в следующем. Если в тех или иных условиях мы собираемся применить математические методы, то, прежде всего, эти условия следует описать в математических терминах. Даже простые явления в экономике, технике, промышленности и других областях становятся чрезвычайно громоздкими, когда они подвергаются строгому математическому описанию и анализу. Поэтому в первую очередь этот анализ должен заключатся в разложении явления (задачи) на простейшие элементы и затем в математическом описании элементов, и связей между ними.

В большинстве случаев моделирования задач первые математические выражения получаются в таком виде, который затрудняет, а иногда и совсем исключает применение того или иного математического метода для решения задачи. Поэтому необходимы квалифицированные знания для того, чтобы упростить поученные математические выражения (уравнения, неравенства, тождества и т. д.) и привести их к такому виду, при котором они не искажают основных характеристик явления и в то же время поддаются математическому исследованию и пригодны для решения методами математического программирования.

Следующие этапы полностью зависят от первых двух. В зависимости от характера полученной в окончательной форме математической модели выбирается метод решения; в зависимости от размеров задачи — программа и средства решения. Некоторые задачи на оптимум можно решать классическими методами математического анализа, однако большинство экономических экстремальных задач решаются специальными методами математического (линейного, целочисленного, нелинейного и динамического) программирования. Средства решения могут быть различные. Некоторые, незначительного размера, задачи можно решать вручную (в основном, для познания сущности алгоритма решения). Производственные задачи успешно решаются на персональных компьютерах с использованием типового программного обеспечения. Для решения специфических задач разрабатываются соответствующие программы решения.

Следующийэтапзаключаетсяв математическом и экономико-логическом анализах полученного оптимального решения. Прежде устанавливается соответствие найденного решения условию задачи. Затем с помощью специальных приемов проводится контроль правильности решения соответствия оптимальному варианту. И, наконец, посредством экономико-логического анализа устанавливается приемлемость и практическая возможность реализации найденного оптимального решения.

Однако при решении целого ряда реальных производственных проблем и задач целесообразно разнообразить решение посредством его повтора. Для этого вносятся некоторые коррективы в постановку задачи, в отношение к некоторым условиям, соответственно вносятся изменения в математическую модель, используются иные показатели критерия и другие соображения. Таким образом, проводится экономико-математический эксперимент, позволяющий получить некоторые разновидности решения одной и той же проблемы, из которых далее выбирается предпочтительный или компромиссный вариант для внедрения [5, 14с.].