Логическая грамотность на уроках математики

• Введение
• Глава 1. Теоретические основы формирования логической грамотности на уроках математики
• 1.1 Понятие логическая грамотность
• 1.2 Содержание понятия логика
• 1.3 Роль математики в формирования логической грамотности у учащихся начальной школы
• 1.4 Логическая линия в школьных образовательных программах
• Глава 2. Методика организации логического развития учащихся начальной школы
• 2.1 Особенности методики формирования математической грамотности в образовательной программе «Школа 2100»
• 2.2 Логические задачи как средство формирования логических операций с высказываниями
• 2.3 Формирование потребности в логических рассуждениях у учащихся начальной школы
• Заключение
• Литература

В последние годы в связи с дифференциацией обучения, появлением школ различной профильной направленности, в том числе гуманитарных, технических, экономических, естественно-математических и других по-новому встают вопросы о целях, содержании формах и методах обучения математике в школе, о месте и роле каждого школьного предмета.

Особое значение сегодня придается формированию логической грамотности у учащихся и основным средством ёё формирования являются уроки математики. Главной задачей уроков математики являются — интеллектуальное развитие ребенка, важной составляющей которого является словесно-логическое мышление.

Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками нестандартных логических задач.

О важности развития логического мышления школьников писали такие известные математики, как А. Н. Колмогоров, Я. С. Дубнов, А. Я. Ханчин, Б. В. Гнеденко, Л. А. Калужнин. Особая роль в этом отводилась геометрии, в которой его ценность выдающимися математиками — авторами школьных учебников считалась неотъемлемой и даже основной.

На основе изучения литературы по данной проблеме определили новизну исследования — раскрыть методы, средства, приемы формирования логической грамотности у младших школьников, так как по этому вопросу нет достаточной литературы.

логическая грамотность урок математика Необходимы новые учебные пособия, методические разработки которые учитывали бы специфику таких классов, но при этом сохраняли достаточно общий уровень математического образования, достигнутого отечественной школой.

Все выше сказанное определило актуальность исследования. Более того, сегодня в школу возвращается курс логики — как элективный. Таким образом, предоставляется важным формировать логическую грамотность на уроках математики у учащихся начальной школы.

Объектом исследования: процесс формирования логической грамотности у учащихся начальной школы.

Предметом исследования: методика формирования логической грамотности на уроках математики у учащихся начальной школы.

Цель исследования состоит в обосновании и разработке методических положений использования математического материала для формирования логической грамотности у учащихся начальной школы.

В соответствии с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

1. Выявить сущность и уточнить понятия логическая грамотность.

2. Сделать анализ программ математики с целью выявления логической составляющей.

3. Выявить и теоретически обосновать методику формирования логической грамотности у учащихся начальной школы.

4. Разработать задания способствующие формированию потребности в логических рассуждениях у учащихся начальной школы.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

сравнительно-сопоставительный анализ психолого-педагогической и методической литературы.

самостоятельно работать по составлению учебных заданий способствующих формированию потребности в логических рассуждениях у учащихся начальной школы.

Структура работы: введение, две главы, заключение, список литературы, приложение.

Глава 1. Теоретические основы формирования логической грамотности на уроках математики

1.1 Понятие логическая грамотность

Логика (от греч. «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения») — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.

Грамотность — степень владения человеком навыками письма и чтения на родном языке.

Логическая грамотность — это свободное владение комплексом элементарных понятий и действий, составляющая азбуку логического мышления и необходимый базис его развития.

Понятие «логическая грамотность» было уточнено и впервые определено как термин Й. Л. Никольской (1973). Ответственность за формирование логической грамотности учащихся, так же, как и их языковой грамотности, лежит на преподавателях всех предметов. Однако, если за языковую грамотность в первую очередь отвечают учителя русского языка, то за логическую грамотность — учителя математики, поскольку в математике логические формы и отношения проявляются в наиболее чистом, нестертом, незавуалированном виде. Более того, логика — это основной инструмент математики, с помощью которого упорядочиваются, приводятся в систему имеющиеся математические знания и получаются новые. Итак, логические умения как инструмент мышления естественно формировать в процессе обучения математике, а при обучении другим предметам их следует целенаправленно и систематически использовать.

С целью повышения логической грамотности учащихся необходимо ввести логику в российские школы в качестве обязательной дисциплины

1.2 Содержание понятия логика

Термин «логика» происходит от греческого слова logos, что значит «мысль», «слово», «разум», «закономерность», и используется как для обозначения совокупности правил, которым подчиняется процесс мышления, отражающий действительность, так и для обозначения науки о правилах рассуждения и тех формах, и которых оно осуществляется. Кроме того, данный термин применяется для обозначения закономерностей объективного мира («логика вещей», «логика событий»).

Мышление изучается не только логикой, но и рядом других наук: психологией, кибернетикой, педагогикой и т. д., при этом каждая из них изучает мышление в определенном, присущем ей аспекте. Так, психология исследует мышление со стороны его побудительных мотивов, выявляет индивидуальные особенности мышления. Кибернетику интересуют аспекты мышления, которые связаны с быстрой и эффективной обработкой информации с помощью ЭВМ, взаимосвязь мышления и языка (естественного и искусственного), методы и приемы программирования, проблемы математического обеспечения ЭВМ и ряд других. Педагогика изучает мышление со стороны осуществления процесса познания в ходе обучения и воспитания подрастающего поколения. Физиологию высшей нервной деятельности интересуют физиологические основы мышления: процессы возбуждения и торможения, происходящие в человеческом мозге как органе мышления.

С иных позиций изучает мышление логика. Она исследует мышление как средство познания объективного мира, те его формы и законы, в которых происходит отражение мира в процессе мышления. Поскольку процессы познания мира в полном объеме изучаются философией, логика является философской наукой.

Познание существует не в виде какого-то одного состояния, не как нечто статичное, а как процесс движения к объективной, полной, всесторонней истине. Процесс этот складывается из множества моментов, сторон, находящихся между собой в необходимой связи.

Материалистическая диалектика, раскрывая содержание моментов познания, устанавливает их взаимодействие и роль в ходе постижения истины. С позиций материалистической диалектики анализируется общественная природа познания, активный характер познавательной деятельности людей. А мышление рассматривается как в связи с пониманием истины (объективной, абсолютной и относительной), так и в плане изучения методов и форм научного познания (например, рассматриваются аксиоматические методы, метод формализации, математические методы, вероятностные методы, методы моделирования и ряд других).

Формальная логика в своем развитии прошла два основных этапа. Основанием деления на эти этапы служит различие применяемых в логике средств и методов исследования. Начало первого этапа связано с работами древнегреческого философа и ученого Аристотеля (384−322 гг. до н.э.), в которых впервые дано систематическое изложение логики. Логику Аристотеля и всю доматематическую логику обычно называют «традиционной» формальной логикой. Традиционная формальная логика включала и включает такие разделы, как понятие, суждение, умозаключение (в том числе и индуктивное), законы логики, доказательство и опровержение, гипотеза. Аристотель видел в логике орудие (или метод) исследования. Основным содержанием аристотелевой логики является теория дедукции. В логике Аристотеля содержатся элементы математической (символической) логики, у него имеются «начатки исчисления высказываний» .

Второй этап - это появление математической (или символической) логики.

Немецкий философ Г. В. Лейбниц (1646−1716) по праву считается основоположником математической (символической) логики.

Начиная с Лейбница в логике используется в качестве метода исследования метод формализации, который традиционной логикой относился только к методам математического исследования, а Лейбниц показал, что он имеет общенаучный характер. Лейбниц пытался построить универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычисления. В XIX в. математическая логика получила интенсивное развитие в работах Д. Буля, Э. Шредера, П. С. Порецкого, Г. Фреге и других логиков.

Математическая (или символическая) логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода. При этом в математической логике для выявления структуры вывода строятся различные логические исчисления, прежде всего исчисление высказываний и исчисление предикатов в их различных модификациях. Можно сказать, что математическая логика разрабатывает применение математических методов к анализу форм и законов доказательного рассуждения.

Другим основанием деления логики служит различие применяемых в ней принципов, на которых базируются исследования. В результате такого деления имеем классическую логику и неклассические логики. В. С. Меськов выделяет такие основополагающие принципы классической логики:

1) область исследования составляют обыденные рассуждения, рассуждения в классических науках;

2) допущение о разрешимости любой проблемы;

3) отвлечение от содержания высказываний и от связей по смыслу между ними;

4) абстракция двузначности высказываний.

Можно логично рассуждать, правильно строить свои умозаключения, опровергать доводы противника и не зная правил логики, подобно тому как нередко люди выражают свои мысли на языке, не зная его грамматики.

Знание логики повышает культуру мышления, способствует четкости, последовательности и доказательности рассуждения, усиливает эффективность и убедительность речи.

Особенно важно знание основ логики в процессе овладения новыми знаниями, в обучении, в ходе подготовки к занятию, при написании сочинения, выступления, доклада; знание логики помогает заметить логические ошибки в устной речи и в письменных произведениях других людей, найти более короткие и правильные пути опровержения этих ошибок, не допускать их самому.

В настоящее время особое значение приобретает задача рационального построения процесса обучения в различных учебных заведениях. Экстенсивные методы, предполагающие расширение объема вновь усваиваемой информации, уступают место интенсивным, предполагающим рациональный отбор из всего потока новой информации важнейших, определяющих компонентов. Необходимым условием внедрения новых методов обучения является развитие логической культуры педагогов и учащихся — овладение методологией и методикой научного познания, усвоение рациональных методов и приемов доказательного рассуждения, формирование творческого мышления.

Логика способствует становлению самосознания, интеллектуальному развитию личности, помогает формированию у нее научного мировоззрения. В повседневной жизни, в науке, в обучении каждому ежедневно приходится из одних истинных суждений выводить другие, опровергать ложные суждения или неправильно построенные доказательства. Сознательное следование законам логики дисциплинирует мышление, делает его более аргументированным, эффективным и продуктивным, помогает избежать ошибок.

1.3 Роль математики в формирования логической грамотности у учащихся начальной школы

Математика способствует развитию логического мышления, заставляя искать решения нестандартных задач, размышлять над парадоксами, анализировать содержание условий теорем и суть их доказательств, изучать специфику работы творческой мысли выдающихся ученых. В математике логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать общую логическую культуру мышления; и основным моментом воспитательной функции математического образования считается развитие у учащихся способностей к полноценной аргументации. В обыденной жизни и в ряде естественнонаучных дискуссий аргументацию почти не удается сделать исчерпывающей, в математике же дело обстоит иначе: «Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы. Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценной аргументации». А. Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретные требования, выполнение которых обеспечивает полноту аргументации. Среди них — борьба против незаконных обобщений и необоснованных аналогий, борьба за полноту дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций.

Математический стиль мышления, по характеристике А. Я. Хинчина. Определяется следующими особенностями:

1. Доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждений;

2. Лаконизм — сознательное стремление всегда находить кратчайший из ведущих к данной цели логический путь;

3. Четкое разбиение хода рассуждений;

4. Скрупулезная точность символики.

Указанные черты стиля математического мышления школьников, позволяют развитию их интеллектуального потенциала. На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями.

Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование).

Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками нестандартных логических задач.

Кроме того, решение нестандартных логических задач способно привить интерес ребенка к изучению математики. В этом отношении весьма характерен следующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московской математической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказал родителям Н. Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что он туп и что вряд ли он сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле-еле перешел в следующий класс.

Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Он заметил невероятную вещь: мальчик не умел решать простые, примитивные задачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздо более сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересовать математикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такому творческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый с мировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавший крупнейшую советскую математическую школу.

Значительное место вопросу обучения младших школьников логическим задачам уделял в своих работах известнейший отечественный педагог В. Сухомлинский. Суть его размышлений сводится к изучению и анализу процесса решения детьми логических задач, при этом он опытным путем выявлял особенности мышления детей. О работе в этом направлении он так пишет в своей прекрасной книге «Сердце отдаю детям»: «В окружающем мире — тысячи задач. Их придумал народ, они живут в народном творчестве как рассказы-загадки» .

Сухомлинский наблюдал за ходом мышления детей, и наблюдения подтвердили, «что прежде всего надо научить детей охватывать мысленным взором ряд предметов, явлений, событий, осмысливать связи между ними. Изучая мышление тугодумов, я все больше убеждался, что неумение осмыслить, например, задачу — следствие: неумение абстрагироваться, отвлекаться от конкретного. Надо научить ребят мыслить абстрактными понятиями» .

Проблемой внедрения в школьный курс математики логических задач занимались не только исследователи в области педагогики и психологии, но и математики-методисты. Поэтому при написании работы использовалась специализированная литература, как первого, так и второго направления.

1.4 Логическая линия в школьных образовательных программах

Разносторонние возможности для развития логического мышления учащихся предоставляет преподавание математики, истории литературы, развивающее специфические стороны мышления.

Так, например, изучение литературы учащиеся начинают с понятий «художественный образ», «литературный тип», «литературная форма», затем подходят к изучению более общих понятий — «критический реализм», «натурализм», «романтизм», «принцип историзма»; при этом понятия берутся в их системе, а не изолированно. Психологическая наука пытается дать классификацию типов мышления на основе того или иного существенного признака. «В одних случаях подчеркивается целенаправленный характер мышления; из типов мышления наглядно-действенное и наглядно-образное названы исходными, а на их основе развивается теоретическое мышление. В других — подчеркивается проблемность мышления, его направленность на решение какой-либо задачи. Особо отмечено, что из основных видов мышления — практического (действенного), конкретно-образного и теоретического (словесно-понятийного) — образный тип мышления не является более низким по сравнению с теоретическим». «В процессе изучения литературы, — пишет О. Ю. Богданова, — развиваются взаимосвязанные компоненты мышления учащихся: конкретно-образные, обобщенно-образные, теоретические и действенные». При анализе произведения художественной литературы учащиеся должны использовать как научные (теоретические), так и образные обобщения, самостоятельно применять всю систему знаний и понятий.

Большое значение для развития мышления учащихся имеет использование различных типов самостоятельных работ по литературе: самостоятельные работы по образцу, реконструктивные, вариативные самостоятельные работы — на применение понятий науки, творческие самостоятельные работы, постановка самими учащимися проблемы и нахождение путей ее решения.

В начальной школе при изучении материала по истории применяются различные приемы, способствующие развитию мышления, в первую очередь наглядные пособия: картины, диапозитивы, рисунки на доске, аппликации, иллюстрации учебника. С их помощью делаются сравнения, устанавливаются различия, производятся обобщения. Например, предлагается сравнить работу крестьян до революции и в настоящее время или сравнить вид Москвы в XIII в. и сейчас. Используется анализ и синтез в их единстве.

Учащиеся учатся составлять план рассказа, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи явлений. Они хорошо усваивают единичные понятия (Московский Кремль, Степан Разин, Пугачев и др.), усваивают и общие понятия: орудие труда, помещик, раб, стачка, восстание и др. Точные определения понятий, как правило, не даются.

В средних и старших классах история преподается как отдельный предмет. Место наглядных пособий занимают словесные иллюстрации, яркие описания, характеристики, часто вместо определения понятий применяются приемы, их заменяющие: описание, характеристика, разъяснение посредством примера, сравнение и различение. В средних классах учащиеся иногда затрудняются выделить общие и существенные признаки и дать точное определение понятия, иногда указывают лишь род, не называя видового отличия (разновидность логической ошибки «несоразмерность определения» — слишком широкое определение, например: «мотыга — это сельскохозяйственное орудие»). В средних и старших классах больше используется так называемая условная наглядность: схемы, картограммы, планы, таблицы, диаграммы, плакаты, графики. Учащиеся знакомятся с рядом научных понятий: «исторический факт (событие)», «причина исторического события», «следствие исторического события», «историческая закономерность» и др. У учащихся вырабатывается понимание закономерностей исторического процесса, роли народных масс, соотношения производительных сил и производственных отношений. Для запоминания последовательности событий полезно давать самим учащимся составлять хронологическую таблицу наиболее важных событий. Это развивает умение выделить главное, существенное.

В старших классах развитие логического мышления на уроках истории осуществляется посредством усвоения более абстрактного, теоретически обобщенного материала, посредством более углубленного формирования понятий. Большее внимание уделяется операции деления понятия и классификациям (например, классификация орудий труда, видов оружия, типов предприятий при капитализме, форм и типов государственного устройства и др.). На уроках истории используются и умозаключения по аналогии. Гипотеза и ее роль в познании исторических событий связаны с научным предвидением.

Очень важными средствами развития логического мышления учащихся являются работа с историческими документами и использование художественной литературы.

На уроках истории, как и на других уроках, широкое применение находит метод сравнения.

Итак, выявлено значительное многообразие средств, методов, приемов развития логического, творческого мышления учащихся на уроках в школе.

Математика способствует развитию творческого мышления, заставляя учащихся искать решения нестандартных задач, размышлять над парадоксами, анализировать содержание условий теорем и сути их доказательств, изучать специфику работы творческой мысли выдающихся ученых. А. Я. Хинчин видит воспитательный эффект уроков математики в том, что специфическая для математики логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать в учащихся общую логическую культуру мышления, и основным моментом воспитательной функции математического образования он считает развитие у учащихся способностей к полноценности аргументации. В обыденной жизни и в ряде естественнонаучных дискуссий аргументацию почти не удается сделать исчерпывающей, в математике же дело обстоит иначе: «Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы. Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценности аргументации» .

Школьники приучаются к взаимной критике; ученик, который «отобьется» от всех возражений своих товарищей, почувствует, что именно логическая полноценность аргументации была тем оружием, которое дало ему эту победу. А раз почувствовав это, он неизбежно научится уважать это оружие и, даже находясь в других ситуациях (в споре с другими или в своем «одиноком мышлении»), будет искать точной, полноценной аргументации, что значительно повысит его логическую культуру. А. Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретные требования, выполнение которых обеспечивает полноту аргументации. Среди них борьба против незаконных обобщений и необоснованных аналогий, борьба за полноту дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций. При построении классификаций необходимо соблюдать правила деления понятий: классификация должна проводиться по одному существенному основанию, члены классификации должны исключать друг друга, классификация должна быть полной. На уроках математики воспитывается потребность осуществлять правильные классификации.

На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями. Чаще всего учащиеся пользуются такими видами дедуктивного умозаключения, как категорический силлогизм, энтимема, условно-категорические и разделительно-категорические умозаключения, полисиллогизмы, сориты, непосредственные умозаключения (превращение, обращение, противопоставление предикату), дилеммы.

Развитие у детей логического мышления — это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам — необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные логические задачи — отличный инструмент для такого развития. Однако что зачастую наблюдается на практике? Учащимся предлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируют условие и решают ее. Но извлекается ли из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учащихся может вновь испытывать затруднения при решении. Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей:

1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике.

2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем.

3. Правильно организованный способ анализа задачи — от вопроса или от данных к вопросу.

4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать «картинку»). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

5. Самостоятельное составление задач учащимися.

Составить задачу:

используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше;

решаемую в 1, 2, 3 действия;

по данному ее плану решения, действиям и ответу;

по выражению.

6. Решение задач с недостающими данными.

7. Изменение вопроса задачи.

8. Составление различных выражений по данным задачи и объяснение, что означает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.

9. Объяснение готового решения задачи.

10. Использование приема сравнения задач и их решений.

11. Запись двух решений на доске — одного верного и другого неверного.

12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.

13. Закончить решение задачи.

14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).

15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

16. Решение обратных задач.

Систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, организованных согласно приведенной выше схеме, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Глава 2. Методика организации логического развития учащихся начальной школы

2.1 Особенности методики формирования математической грамотности в образовательной программе «Школа 2100»

В соответствии с программой курса «Моя математика» программа «Школа 2100» авторы Т. Е. Демидова С.А. Козлова А. П. Тонких к концу обучения во втором классе учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

различать истинные и ложные высказывания (верные и неверные равенства и неравенства);

составлять истинные высказывания (верные равенства и неравенства).

Кроме этого во втором классе пропедевтически предлагались некоторые несложные текстовые логические задачи и подробно рассматривались их решения с помощью простейших цепочек логических рассуждений, а также с помощью таблиц. В этих задачах содержалось два-три высказывания и все они были ложными.

В третьем классе логическое направление получает дальнейшее развитие, притом весьма существенное. В соответствии с программой: курса «Моя математика» к концу третьего класса учащиеся должны уметь:

3) устанавливать принадлежность или непринадлежность множеству данных элементов;

4) различать истинные и ложные высказывания с кванторами общности и существования;

5) решать удобным для себя способом (в том числе и с помощью таблиц и графов) логические задачи, содержащие не более трех высказываний

В четвертом классе никаких новых вопросов и типов задач, формально относящихся к линии логики, не рассматривается, а происходит повторение и некоторое углубление изученного ранее. Многие тонкие логические вопросы, связанные с понятием «хотя бы» и его отрицанием, рассмотрены ниже в разделе «Задачи на принцип Дирихле» .

Остановимся подробно на каждом из пунктов.

1. Множества.

Хотя понятия «множество», «элемент множества» вводятся впервые в третьем классе на уроке 61 (№ 1,2), однако, оно в неявном виде было знакомо ребятам гораздо раньше. В основе изучения содержательной линии «Числа и действия над ними» в учебнике «Моя математика» лежит теоретико-множественный подход. Начиная с первых уроков первого класса, мы учим детей воспринимать количественное натуральное число как общее свойство класса конечных равномощных множеств: (естественно, на интуитивном уровне, ни в коем случае не произнося вслух ни этих, ни подобных им «высоконаучных» слов). Так, натуральное число «три» есть общее свойство класса множеств, равномощных множеству вершин треугольника. Именно поэтому, знакомя детей первого класса с каждым новым натуральным числом, мы предъявляем ряд рисунков с предметными равномощными множествами и ставим каждому из них в соответствие это новое число. Только вместо понятия «множество» при этом использовалось понятие «группа предметов» .

Необходимость введения самого понятия «множество» связано с вводом абстрактного изображения множеств в виде диаграмм Эйлера — Венна. С их помощью мы создаем на уроках, следующих за уроками, введения нового понятия, зрительные опоры (рисунки), на основе которых дети формулируют понятия и строят высказывания с кванторами общности и существования.

В учебнике «Моя математика» для 4-го класса задачи на множества только повторяются: ур.21 (№ 5), ур, 47 (№ 9), ур.73 (№ 6).

2. Высказывания с кванторами.

Математическая речь строится на высказываниях со словами-кванторами: «любой», «некоторый» и производными от них «хотя бы один», «все», «всякий», «каждый» .

Например, «Если у четырехугольника хотя бы три угла прямые, то это прямоугольник», «Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом». Совершенно очевидно, что без понимания смысла слов-кванторов, невозможно воспринимать смысл высказывания в целом.

Педагогическая практика показывает, что такую работу можно проводить с детьми начальных классов, только опираясь на наглядные модели высказываний со словами-кванторами, преимущественно графические. Эти же графические модели могут использоваться только после осознания детьми понятий: «множество», «элемент множества», «объединение множеств», «пересечение множеств». Никакие специальные знаки в учебнике третьего класса не используются, так как основной нашей задачей является только одно, уже отмеченное выше положение: необходимо научить ребенка понимать и осознанно воспроизводить в своей речи простейшие логические формы с опорой на элементарные абстрактные зрительные образы. Для этого вполне достаточно диаграмм Эйлера — Венна, очень легко и быстро усваиваемых детьми и воспринимаемых ими как наглядные рисунки.

В учебнике «Моя математика» для 4-го класса имеется большое количество заданий на высказывания. В некоторых заданиях предлагается установить истинность или ложность заданных высказываний: ур.12 (№ 7), ур.37 (№ 7), ур.56 (№ 7), путешествие 3 (ч.2, с. 46, № 4), ур.63 (№ 8), ур.67 {№ 9). Другие задания содержат высказывания с кванторами. Для решения несложных заданий этого типа достаточно простого анализа высказываний, а для решения заданий посложнее полезно привлекать соответствующие множества и рисовать диаграммы Эйлера — Венна (во многих заданиях они уже нарисованы в самом учебнике): турнир 1 (ч.1, с. 5, № 13), ур.3 (№ 4), ур.17 (№ 7), ур. 19 (№ 7), ур.47 (№ 7), ур.50 (№ 8), ур.56 (№ 8), ур.61 (№ 8), ур.66 (№ 10), ур.101 (№ 7).

3. Текстовые логические задачи, рассматриваемые в учебниках «Моя математика», весьма разнообразны. Часть из них «одноразовые», а часть повторяется с различными вариациями. «Одноразовые» задачи подробно разобраны в текстах соответствующих уроков в настоящих методических рекомендациях и в методических рекомендациях для 1-го и для 3-го класса. Выделим и подробно рассмотрим три основных типа заданий, встречающихся достаточно часто.

3а. Задания на упорядочивание данного множества по указанному признаку.

Такие задания впервые появляются и подробно изучаются во втором классе. Рассмотрим, как это происходит при первом появлении такой задачи (ур.64, № 8): «Из лагеря вышли пять туристов: Вася, Галя, Толя, Лена, Маша. Толя идет впереди Маши, Лена — впереди Васи, но позади Маши, Галя впереди Толи. Кто идет первым и кто последним?». Здесь же рядом с условием в учебнике приводится рисунок. Туристы на нем изображены точками (с первыми буквами имен), и нарисованы стрелки от того, кто идет сзади, к тому, кто идет впереди. Заметим, что такой рисунок называется направленным графом. В результате получается полная картина, кто за кем идет. В учебнике для 2-го класса чуть менее подробно решена еще одна задача такого типа и две задачи даны для самостоятельного решения. В результате к концу второго класса ребята хорошо справляются с такими заданиями.

В третьем классе этот тип задач только повторяется. В первом встречающемся в учебнике для 3-го класса задании (ур.2, № 9) дается рисунок с двумя нанесенными стрелками и рекомендуется решать задачу с его помощью, нарисовав все остальные стрелки. Далее такие задания даются без всяких комментариев: ур.24 (№ 8), ур.45 (№ 7), ур.88 (№ 7), раздел «Материалы для повторения изученного в третьем классе» (ч.3, с. 79, № 14).

В четвертом классе рассматривается лишь два задания, относящиеся к этому типу: ур.25 {№ 8), ур.46 (№ 8). Интересно отметить, что первое из них связано с упорядочиванием по величине площади материков, а второе — ряда европейских стран.

3б. Произошло одно из нескольких возможных событий. Сюжетные герои делают по одному высказыванию на эту тему, причем известно, сколько из этих высказываний ложных и сколько истинных. Требуется определить, какое же именно событие произошло.

Этот тип заданий начинает систематически разрабатываться во втором классе, эта разработка; начинается с самых простых ситуаций когда все высказывания ложные. В учебнике «Моя математика» для второго класса рассмотрено 4 задачи с двумя ложными высказываниями, 3 задачи тремя ложными высказываниями и в конце 1 задача с двумя высказываниями, о которых известно, что они либо одновременно ложные, либо одновременно истинные.

В третьем классе работа с данным типом задач начинается с того, что для повторения дается задание с тремя ложными высказываниями (ур.18, № 7). На следующем уроке впервые появляется задача с тремя высказываниями, из которых два истинных и одно ложное (ур. 19, № 9). Здесь же приводится начало решения, которое предлагается закончить самостоятельно. Решение этой конкретной задачи основано на том, что среди высказываний имеются два одинаковых. Понятно, что ложными они быть не могут. После этого все становится ясным. Позже этот же мотив, только в чуть более замаскированном виде, встречается еще в нескольких задачах: ур.26 (№ 8), ур.28 (№ 6). Еще на следующем уроке опять предлагается задача с двумя истинными и одним ложным высказыванием (ур. 20, № 7). Здесь ситуация не такая простая, как в предыдущем случае. Наиболее надежным способом решения таких задач является полный перебор возможностей. Предположив, что произошло одно какое-то событие из возможных, можно уже точно сказать, правдивое или ложное каждое из высказываний. После этого остается посмотреть, при каком предположении количество истинных и ложных высказываний оказалось в точности таким, как сказано в условии. Подробно эти рассуждения изложены в методических рекомендациях для 3-го класса при решении заданий: ур, 20 (№ 6) *, ур.37 (№ 8) **, ур.73 (№ 8) ***. Похожий мотив встречается еще в нескольких задачах: ур.37 (№ 8), ур.73 (,№ 8). Далее задачи с двумя истинными и одним ложным высказыванием даются еще несколько раз: ур.26 (№ 8), ур.28 (№ 6), ур.37 (№ 8), ур, 73 (№ 8), причем в их решениях используются идеи, похожие на идеи решения двух первых задач. Наконец, в разделе «Материалы для повторения изученного в третьем классе» предлагается задача с двумя ложными и одним истинным высказыванием (ч.3, с. 79, № 14) и задача, где один из сюжетных героев всегда говорит правду, второй всегда лжет, а третий иногда говорит правду, а иногда лжет (ч.3, с. 79, № 10), Они решаются таким же методом, как и предыдущие.

В четвертом классе работа с данным типом задач, поскольку они исчерпывающе изучены в третьем классе, организована как работа на повторение, В учебнике «Моя математика» для 4-го класса содержится 7 таких задач: путешествие 1 (ч, 1, с. 53, № 8), ур.31 (№> 7), ур.54 (№ 9), ур, 65 {№ 9), ур.100 (№ 9), раздел «Материалы для повторения изученного в четвертом классе» (ч.3, с. 92, № 1,3). Решения всех этих задач подробно рассмотрены в соответствующих разделах настоящих методических рекомендаций.

3 В. К некоторой ситуации предъявлено несколько требований разной степени сложности, и основываясь на них, нужно придумать, как можно реализовать ситуацию, чтобы все требования были выполнены.

Работа с такими заданиями началась во втором классе и проводилась с помощью таблицы, в которой отражены все возможные варианты. Ставя на основе данных условия в соответствующих ячейках этой таблицы знак «+» или «-» и помня, что в каждой строке и в каждом столбце может стоять только один плюс, постепенно восстанавливаем всю таблицу. Очень подробно техника работы с такими таблицами рассмотрена в учебнике «Моя математика» для 2-го класса: ур.8 (№ 7), где таблица изображена полностью, и ур.10 (№ 7), где приведена только начальная стадия заполнения таблицы. Кроме того, во втором классе несколько задач такого типа предложено для самостоятельного решения. Таким образом, данная техника во втором классе полностью отработана, а в третьем я четвертом классах происходит только повторение.

В учебнике «Моя математика» для 3-го класса к обсуждаемому типу относятся задания: ур.1 (№ 7), ур.23 (№ 8), ур.71 (№ 8), ур.85 (№ 8), ур.107 (№ 8).

В учебнике «Моя математика» для 4-го класса к обсуждаемому типу относятся задания: ур.18 (№ 6), ур.38 (№ 5), в разделе «Материалы для повторения изученного в четвертом классе» (ч.3, с. 92, № 2). Все они подробно рассмотрены при разборе соответствующих уроков в настоящих методических рекомендациях.

2.2 Логические задачи как средство формирования логических операций с высказываниями

Теоретическое исследование о важности широкого внедрения в школьный урок математики логических задач дополним описанием соответствующих методических установок.

Ниже рассмотрим методику использования на уроках математики в начальной школе специального типа логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных понятий математической логики.

Эта методика была разработана ведущим отечественным методистом А. А. Столяром.

" Главная задача обучения математике, причем с самого начала, с первого класса, — учить рассуждать, учить мыслить" , — писал А. А. Столяр. Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ логического мышления и в изучении геометрических фигур А. А. Столяр использовал в своей практике игру с кругами, рассмотрение которой приведено ниже.

Игра с кругами, созданная на основе известных кругов Эйлера, позволяет обучать классифицирующей деятельности, закладывает понимание логических операций: отрицания — не, конъюнкции — и, дизъюнкции — или. Перечисленные логические операции имеют важнейшее значение, так как различные их комбинации образуют всевозможные и сколь угодно сложные логические структуры.

К концу дошкольного возраста у ребенка проявляются признаки логического мышления. В своих рассуждениях он начинает использовать логические операции и на их основе строить умозаключения. Очень важно в этот период научить ребенка логически мыслить и обосновывать свои суждения.

Для игры с кругами нужны нарисованные на бумаге один, два или три пересекающихся круга разного цвета, разноцветные обручи и наборы геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами и буквами русского алфавита. В принципе необязательно использовать круги, можно работать с любыми замкнутыми плоскими фигурами. В этом случае замкнутые области выделяются на монтажной панели, к примеру, цветными веревочками. Возможна также работа на компьютере со специальной компьютерной программой. Комплексное обучение, сочетающее игры с обручами со всем классом, игру за столом в группе и индивидуальную работу за компьютером, является наиболее эффективным.

Приведем несколько примеров заданий для игры «Круги». Предлагаемая методика игрового обучения может использоваться начиная с первого класса.

1. Задачи с одним кругом

Цель работы над задачами с одним кругом — учить классифицировать предметы по одному признаку, понимать и применять логическую операцию отрицания не.

Игра проводится со всем классом или группой. У учеников в руках наборы квадратов, кругов и треугольников разных цветов и размеров. В центре игровой площадки помещен обруч или на доске нарисован круг.

Учитель:

Покажите треугольные фигуры.

Покажите красные фигуры.

Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри круга.

Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне круга.

Ученики выборочно выполняют эти простые задания. Надо быть готовым к тому, что здесь необязательно сразу будут правильные результаты. Понятия «внутри» и «вне» у многих детей в этом возрасте еще не полностью сформированы.

Учитель:

Положите внутрь круга треугольные фигуры.

Ученики случайным образом (например, с закрытыми глазами) выбирают по одной геометрической фигуре из своего набора и по очереди помещают их на заданное место. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят: «Стоп». Ошибка обсуждается со всей группой.

После того как все фигуры размещены, учитель задает два новых вопроса.

Учитель:

Какие геометрические фигуры лежат внутри круга?

Ученик:

Внутри круга лежат треугольные фигуры.

Этот ответ содержится в самом условии только что решенной задачи и формулируется обычно без особого труда. Правильного ответа на второй вопрос приходится ждать дольше.

Учитель:

Какие геометрические фигуры лежат вне круга?

Правильный ответ ученика:

Вне круга лежат не треугольные фигуры.

Возможные неправильные ответы:

вне круга лежат большие фигуры (но и внутри круга могут лежать большие фигуры);

вне круга лежат красные фигуры (но и внутри круга могут лежать красные фигуры);

вне круга лежат квадраты (не описывает все фигуры, лежащие вне круга).

Ответ:

вне круга лежат квадраты и круги - является правильным, но наша цель в данном случае — охарактеризовать свойство фигур, лежащих вне круга, через свойство фигур внутри круга.

Возможно, потребуется уточнение к условию задачи:

Выразите свойство всех фигур, лежащих вне круга, одним словом.

Учителю бывает очень трудно удержаться от произнесения правильного ответа самому. Если мы хотим заниматься развитием логики у детей, а не добиваться механического запоминания, то спешить нельзя.

В дальнейшем в игру вносятся варианты вопросов различной степени трудности. В частности, можно задавать вопросы на подсчет количества фигур с определенным признаком.

Эту игру нужно провести в простом варианте 3−5 раз перед переходом к игре с двумя кругами, но возвращаться к ней с более сложными заданиями следует неоднократно.

Примеры заданий.

При выполнении каждого из этих заданий очень важно не только правильно разложить фигуры или карточки, но и правильно ответить на вопросы:

Какие геометрические фигуры (буквы, числа.) лежат внутри круга?

Какие геометрические фигуры (буквы, числа.) лежат вне круга?

1. В круг положите все красные фигуры.

Вне круга лежат не красные фигуры.

2. В круг положите все круглые фигуры.

Вне круга лежат некруглые фигуры.

3. В круг положите все некруглые фигуры.

Скорее всего ученики сразу дадут правильный ответ: «Вне круга лежат круглые фигуры». Однако возможен и ответ: «Вне круга лежат НЕ НЕкруглые фигуры». Эта задача помогает ввести и обсудить понятие двойного отрицания.

Игру с кругами можно использовать и для изучения свойств чисел, букв, звуков. Вот несколько таких примеров.

4. В круг положите все числа, большие 5.

Вне круга лежит и число 5, поэтому ответ «Вне круга лежат числа, меньшие 5» будет неверным.

Правильный ответ: «Вне круга лежат числа не больше 5» .

5. В круг положите все числа, делящиеся на 2 (3, 5.).

Эта задача может быть использована для изучения признаков делимости чисел.

6. В круг положите все гласные буквы.

Вне круга кроме согласных букв лежат еще Ь и Ь, поэтому ответ «Вне круга лежат согласные буквы» не будет верным.

Правильный ответ: «Вне круга лежат негласные буквы» .

7. В круг положите все буквы, смягчающие согласные.

Не надо думать, что игра с одним кругом содержит только очень простые задания. Попробуйте правильно ответить на вопрос: «Какие фигуры лежат вне круга, если внутри круга лежат фигуры, являющиеся одновременно красными и треугольными?» Сравните свой ответ с ответом в конце статьи.

Если ваши ученики освоили рассмотренные выше задачи, можно перейти к следующему этапу игры с более сложными заданиями:

8. В круг положите все числа, делящиеся на 2 и на 3 одновременно.

Вне круга лежат числа, не делящиеся на 2 или не делящиеся на 3.

9. В круг положите все числа, делящиеся на 2 или на 3.

Вне круга лежат числа, не делящиеся ни на 2, ни на 3.

10. В круг положите все геометрические фигуры, которые являются красными или треугольными.

Вне круга лежат геометрические фигуры, являющиеся одновременно не красными и не треугольными.

11. В круг положите все гласные буквы, обозначающие один звук.

При работе с небольшими группами или при индивидуальной работе с учащимися за столами, можно разобрать обратные задачи. В этом случае геометрические фигуры, буквы или числа сначала раскладываются на столе или закрепляются на монтажной панели, а затем ученикам дается задание с помощью веревочки объединить все фигуры, соответствующие одному признаку.

Например:

Учитель:

Проведите замкнутую линию так, чтобы внутри были только все треугольники.

Замкнутая линия проводится с помощью тоненькой веревочки или карандаша.

Далее можно обсуждать с учениками те же вопросы, что и приведенные выше в задачах с кругами. Перед такой игрой необходимо предварительно изучить и закрепить понятие замкнутой линии. Один из наиболее эффективных способов усвоения этого понятия — работа в графическом редакторе, связанная с заливкой областей. Достаточно один раз испортить свой рисунок из-за заливки незамкнутой области, как это понятие твердо формируется в сознании ребенка.