Кластерный анализ

Задание

1. По нижеприведенным данным выполнить кластерный анализ предприятий, объединив их в два кластера.

2. Для каждого кластера построить линейное уравнение регрессии, устанавливающее зависимость объема реализации от указанных факторов.

3. Рассчитать коэффициенты эластичности по разработанным регрессионным моделям и определить влияние факторов на объем реализации по двум группам предприятий.

где: Y — объем реализации (млн. руб.);

X1 — время (годы);

X2 — расходы на рекламу (тыс. руб.);

X3 — цена товара (руб.);

X4 — средняя цена товара у конкурентов (руб.);

X5 — индекс потребительских расходов (%).

Решение

1. Проводим кластерный анализ строк 1−16 заданной таблицы с помощью пакета программ Statgraphics Plus согласно методике.

По табличным данным строится дендрограмма, объединяющая предприятия в два кластера, где по оси абсцисс отмечены цифрами номера объектов (компаний): 1−16, а по оси ординат расстояние между факторами в Евклидовом пространстве.

Таким образом, получены два кластера, которые скомпонованы по критерию «ближайшего соседа» :

кластер № 1: 1−4 предприятия;

кластер № 2: 5−16 предприятия.

Матрица расстояний между классифицируемыми объектами:

2. Строим линейные уравнения регрессии, описывающие зависимость Yобъем реализации от факторов: Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 для каждого кластера в отдельности.

а). В 1-ом кластере исходные данные и матрица корреляций по 4 входящим в него предприятиям:

Так как между факторами Х1, Х3 и Х5 присутствует мультиколлинеарность, то для построения регрессионной модели выбираем фактор Х5, наиболее тесно связанный с результативным признаком Y.

Так как между факторами Х2, Х3, X4 и Х5 присутствует мультиколлинеарность, то для построения регрессионной модели выбираем фактор Х5, наиболее тесно связанный с результативным признаком Y.

Уравнение регрессии для 1-го кластера: .

Значения случайных ошибок параметров уравнения регрессии записаны в колонке Standard Error: m_{b0=458,14; mb1=4,54 539.}

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов. Эти значения использованы при расчетном определении t-критерия Стьюдента, приведенные в колонке T Statistic: t_{b0=-2,21 864; tb1=2,54 757.}

Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f=4-1−1=2 равно t_т=4,3027.

Так как в рассматриваемом примере расчетные значения t-критерия Стьюдента (по модулю) меньше табличного значения t_{т=4,3027, то полученные коэффициенты не являются статистически значимыми.}

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации дает расчетное значение F — критерия Фишера, равное F_р=6,49. Сравнение расчетного значения критерия с табличным позволяет проверить гипотезу об адекватности модели и значимости коэффициента детерминации. Табличное значение F — критерия Фишера для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f_{1=1, f2=2 равно Fт=18,51. Расчетное значение F — критерия Фишера меньше табличного значения Fр=6,49<Fт=18,51. Это указывает на то, что уравнение и коэффициент детерминации R-squared не являются статистически значимыми.}

Направление связи между фактором и результатом прямое (по знаку коэффициента). Коэффициент детерминации показывает, что изменение результата на 76,44% зависит от рассматриваемого фактора, на другие причины приходится 23,56%.

3. а) Найдем коэффициент эластичности для уравнения регрессии 1-го кластера.

.

При увеличении фактора Х5 на 1% результат Y увеличивается на 7,754%.

2б). Во 2-ом кластере исходные данные и матрица корреляций по 12 входящим в него предприятиям:

Так как между факторами Х1 и Х5 присутствует мультиколлинеарность, то для построения регрессионной модели выбираем фактор: Х1, наиболее тесно связанный с результативным признаком Y.

Так как между факторами Х2 и Х3 присутствует мультиколлинеарность, то для построения регрессионной модели выбираем фактор: Х3, наиболее тесно связанный с результативным признаком Y.

Последовательно исключая незначимые фактор Х1 и Х3 с помощью пакета программ Statgraphics Plus, строим линейную регрессионную модель Y=f(X4) с единственным фактором Х4.

Уравнение регрессии для 2-го кластера: .

Значения случайных ошибок параметров уравнения регрессии записаны в колонке Standard Error: m_{b0=190,661; mb1=11,0352.}

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов. Эти значения использованы при расчетном определении t-критерия Стьюдента, приведенные в колонке T Statistic: t_{b0=0,926 896; tb1=0,953 664.}

Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f=12-1−1=10 равно t_т=3,1825.

Так как в рассматриваемом примере расчетные значения t-критерия Стьюдента (по модулю) меньше табличного значения t_{т=2,2281, то полученные коэффициенты не являются статистически значимыми.}

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации дает расчетное значение F — критерия Фишера, равное F_р=0,91. Сравнение расчетного значения критерия с табличным позволяет проверить гипотезу об адекватности модели и значимости коэффициента детерминации. Табличное значение F — критерия Фишера для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f_{1=1, f2=10 равно Fт=4,96. Расчетное значение F — критерия Фишера меньше табличного значения Fр=0,91<Fт=4,96. Это указывает на то, что уравнение и коэффициент детерминации R-squared не являются статистически значимыми.}

Направление связи между фактором и результатом прямое (по знаку коэффициента). Коэффициент детерминации показывает, что изменение результата на 8,34% зависит от рассматриваемого фактора, на другие причины приходится 91,66%.

3б) Найдем частные коэффициенты эластичности для уравнения регрессии 2-го кластера.

кластерный регрессия эластичность детерминация

.

При увеличении фактора Х4 на 1% результат Y увеличивается на 0,506%.