Модель оценки качества математического образования на примере изучения стохастической линии

Одной из важнейших особенностей нового ФГОСа является необходимость оценки не только предметных результатов, а также оценки личностных и метапредметных результатов. В документе подчеркивается, что система оценки достижения планируемых результатов освоения основной образовательной программы должна:

обеспечивать комплексный подход к оценке результатов освоения основной образовательной программы, позволяющий вести оценку предметных, метапредметных и личностных результатов;

обеспечивать оценку динамики индивидуальных достижений обучающихся в процессе освоения основной общеобразовательной программы [70].

В связи с этим была разработана модель оценки качества математического образования на примере изучения темы «Комбинаторика и вероятность» в 10 классе по учебнику А. Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень» (см. Рис.2).

Работу с модулем предваряет этап входного контроля обучающихся, предполагающий оценивание уровня остаточных знаний по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики» за курс основной школы. Так например можно предложит школьникам сформулировать случайные события А, используя следующие ситуации: каждому из описанных событий сформулируйте верную формулировку события: а) все ученики 9-го класса изучают в школе информатику; б) все ученики за контрольный диктант по русскому языку получили отметку «5» и «4»; в) все ученики 9 класса занимаются конкуром (кросс на лошадях).

Этот этап работы позволит учителю выявить проблемы в изучении данной темы. И наметить пути их решения для выравнивания стартовых возможностей каждого обучающегося.

Далее происходит непосредственное знакомство с самим модулем «Комбинаторика и вероятность». На данном этапе учитель обучаемых на результаты, которые они должны будут достичь при изучении этого модуля. Такие результаты как правило представлены взаимосвязанным комплексом личностных, метапредметных и предметных.

Так к личностным результатам будем относить:

уметь ясно, точно и логически правильно излагать свои мысли, выстраивать аргументацию;

уметь распознавать логически неккоректные высказывания, критически мыслить, отличать гипотезу от факта;

представлять данный раздел математике как сферу человеческой деятельности, представлять этапы его развития и его значимость для развития цивилизации;

вырабатывать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении задач данного раздела.

В метапредметных результатах будем выделять:

анализировать реальные числовые данные, представленные в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

Предметные результаты:

решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;

вычислять в простейших случаях, вероятности событий на основе подсчетов исходов.

Описанные выше результаты для удобства необходимо детализировать более мелко, т. е. при изучении модуля «Комбинаторика и вероятность» использовать продвижение через подмодули. Каждый из них содержит в себе контрольную точку. Последняя может быть промежуточной, предполагающая возможность освоения подмодуля на более высоком уровне и повторный контроль предметных результатов. Контрольная точка может быть и итоговой при работе над подмодулем.

При изучении первого подмодуля «Правило умножения. Перестановки и факториалы» можно выделить следующие предметные результаты:

знать правило умножения;

знать определения понятий «факториал», «отображение множества X в себя», «перестановка»;

уметь применять правило умножения для конечного числа испытаний;

уметь применять дерево вариантов;

владеть навыками применения теорем для решения задач;

Приведем примеры заданий контрольной точки в первом подмодуле.

Задачи на воспроизведение (уровни знаний):

Назовите правило умножения для двух испытаний.

Что называют «эн факториалом»?

Типовые задачи по одной теме (уровни умений):

Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы):

Сколько всего можно составить чисел?

Сколько всего можно составить чисел, больше 50?

Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр.

При проверке полученных результатов возможны два пути дальнейшего развития: прохождение контрольной точки и, соответственно, ее не прохождение. В случае второго варианта, обучающийся переходит к дополнительному блоку «Самостоятельная подготовка». Этот блок, в соответствии с требованиями ФГОСа, предполагает готовность к самообразованию. Отметим, что изучение стохастичекой линии в 10 классе является обобщением данной линии за курс основной школы. В качестве средств при самоподготовке могут быть электронные пособия, видео-уроки, консультации с учителем. При успешном прохождении контрольной точки предполагается усложнение изучаемого материала и повторный выход на контроль.

После освоения первого под модуля происходит переход ко второму подмодулю «Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты». Его усвоение характеризуется следующим перечнем предметных результатов обучения:

знать понятия «число сочетаний из n элементов по 2», «число размещений из n элементов по 2», «число сочетаний из n элементов по k», «число размещений из n элементов по k»;

иметь представление о «биноме Ньютона», «треугольнике Паскаля»;

уметь отличить сочетания от размещений;

владеть навыками применения следующих формул при решении задач:

Прохождение данного подмодуля происходит аналогично работе в первом подмодуле. Для контроля его освоения можно использовать следующие задания:

Задачи на воспроизведение (уровни знаний):

Сформулируйте теорему о выборке двух элементов.

Что называют формулой бинома Ньютона?

Типовые задачи по одной теме (уровни умений):

Вычислить:

;

;

;

.

Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие).

Найти число всех возможных трезвучий.

Найти число всех возможных аккордов.

Заключительный подмодуль «Случайные события и их вероятность» ориентирован на достижение следующих предметных результатов.

знать классическое определение вероятности;

знать и уметь применять классическую вероятностную схему;

знать, что называется суммой и произведением событий;

уметь различать невозможные и достоверные события;

уметь применять теоремы о правиле суммы и о вероятности суммы событий;

уметь применять формулу .

Контрольные задания этого подмодуля могут выглядеть следующим образом.

Задачи на воспроизведение (уровни знаний):

Назовите алгоритм классической вероятностной схемы.

Что называют классическим определением вероятности?

Какие события называют невозможными? Какие события являются достоверными? Что такое противоположное событие?

Типовые задачи по одной теме (уровни умений):

Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно:

делится на 5;

делится на 13;

делится или на 15, или на 25;

не делится на 29.

Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что:

его квадрат меньше 1000;

его квадрат больше 9000;

сумма квадратов его цифр больше 140;

сумма квадратов его цифр не больше 10.

Аналитические задачи:

На подносе 5 пирожков с картошкой и 4 с капустой. Наудачу взяли 3 пирожка. Какова вероятность того, что среди них хотя бы 2 с капустой?

В телеателье имеется три кинескопа. Вероятности неисправности каждого из них соответственно равны 0,1; 0,2; 0,1. Какова вероятность того, что среди этих кинескопов исправными окажутся: а) два кинескопа; б) хотя бы один кинескоп.

Межпредметные творческие, исследовательские задачи:

«Крепс». Игрок бросает две кости и подсчитывает сумму выпавших очков. Он сразу же выигрывает, если эта сумма равна 7 или 11, и проигрывает, если она равна 2, 3 или 12. всякая другая сумма — это его «пойнт». Если в первый раз выпадает «пойнт», то игрок бросает кости еще до тех пор, пока он или не выиграет. Бросив свой «пойнт», или не проиграет, получив сумму очков равную 7. Какова вероятность выигрыша?

На заключительном этапе изучение модуля «Комбинаторика и вероятность» предполагается проведение комплексной проверки, ориентированной на применение полученных знаний в ситуации из реальной жизни.

Например, чтобы собрать один комплект книжных полок, плотнику нужны следующие детали: 4 длинных деревянных панели, 6 коротких деревянных панелей, 12 маленьких скоб, 2 большие скобы и 14 шурупов. У плотника есть 26 длинных деревянных панелей, 33 коротких панели, 200 маленьких скоб, 20 больших скоб и 510 шурупов. Какое наибольшее число комплектов книжных полок может собрать из этих деталей плотник?

Полученная модель позволяет оценить качество математического образования посредством интеграции нескольких систем оценивания. На наш взгляд, самыми эффективными для этого являются многокритериальное, 10-балльное и аутентичное (портфолио) оценивания.

В условиях реализации ФГОСа у обучаемых начиная с начальной школы имеется опыт формирования портфолио. Поэтому учитель лишь оговаривает с обучающимся, что оно будет содержать при изучении модуля «Комбинаторика и вероятность». Оно может включать в себя:

результаты входного контроля, анализ полученных результатов, выявленные проблемы и намеченные пути их решения;

результаты прохождения контрольных точек, рефлексию обучающегося по полученным результатам, повторное прохождение контроля;

мини-проекты;

самостоятельно составленные задачи по модулю;

эссе по историческим фактам из теории вероятностей;

дипломы, грамоты, сертификаты и другие документы, подтверждающие участие школьника в конкурсах разного рода по этому модулю.

Тем самым портфолио показывает динамику индивидуального развития школьника, а также формирует адекватную самооценку своих результатов.

Многокритериальная система оценки фиксирует формирование общеучебных умений как основы познавательных компетенций. Мы предлагаем использовать данную шкалу в процессе изучения подмодуля. Отличительной чертой является фиксация степени реализации интеллектуального потенциала детей, а также перспективы их развития.

Приведем пример оценивания по данной шкале на одном из подмодулей, например, «Случайные события и их вероятность».

В процессе изучения данной темы к репродуктивному уровню можно отнести следующие задания:

Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найти вероятность того, что оно:

делиться на 5;

делиться на 13;

делиться или на 15, или на 25;

не делиться на 29.

Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Найти вероятность того, что оно:

его квадрат меньше 1000;

его квадрат больше 9000;

сумма квадратов его цифр больше 140;

сумма квадратов его цифр не больше 10.

3. Из набора домино случайно выбирают одну фишку. Найти вероятность того, что:

это дубль;

одна из ее половинок — «пустышка»;

различие между очками на ней больше 4;

сумма очков на ней больше 7.

К заданиям продуктивного уровня можно отнести следующие типы заданий:

1. У каждого из туристов есть или тугрики, или «еврики». У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только «еврики», а у 31% туристов есть обе валюты.

Сколько было туристов?

Сколько туристов имеют тугрики?

Сколько туристов имеют «еврики»?

Измените в условии задачи 31% так, чтобы ответ в пункте а) стал наибольшим из всех возможных.

2. Каждый из учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9.

Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5?

Как меняется эта вероятность с изменением ?

Найдите предел этой вероятности при .

При каком наименьшем вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности ее отсутствия?

Приведем примерный перечень критериев для данной темы:

Знать основные определения и теоремы.

Уметь определить с помощью какой формулы решается задача.

Уметь применять основные формулы при решении задач.

Правильность оформления решения.

Решение нестандартных задач, где результатом умственной работы становится личностно-значимое открытие посредством вывода известных формул по теме.

10-балльную шкалу удобнее использовать при оценивании контрольных точек. Данная шкала позволяет выявить уровень усвоения знаний, на который претендует обучающийся, с полученными результатами при выполнении заданий. Оценка, выставленная в виде дроби, позволяет следить рост учащихся в изучении темы.

Данная модель с учетом специфики темы может быть скорректирована.