Решить матричную игру с платёжной матрицей

Составим двойственные задачи. Прежде всего проверим, не имеет ли игра седловой точки. Находим: .

Т.к., то решением игры будут смешанные стратегии, а цена игры v заключена в пределах. По матрице игры составляем двойственные задачи:

Решим вторую задачу. Приведём задачу к каноническому виду:

Переменные у₅, у₆, у₇, у₈— базисные. Составим симплекс-таблицу:

Таблица 2.

БП.	b.	y1.	y2.	y3.	y4.	y5.	y6.	y7.	y8.	o.
y5.
y6.		— 7.								#ДЕЛ/0!
y7.										0,125.
y8.			— 9.		— 1.					0,333 333.
дельта.		— 1.	— 1.	— 1.	— 1.
БП.	b.	y1.	y2.	y3.	y4.	y5.	y6.	y7.	y8.	o.
y5.	0,88.	0,63.	4,88.	0,00.	2,63.	1,00.	0,00.	— 0,13.	0,00.	0,18.
y6.	1,00.	— 7,00.	1,00.	0,00.	2,00.	0,00.	1,00.	0,00.	0,00.	1,00.
y3.	0,13.	0,38.	0,13.	1,00.	0,38.	0,00.	0,00.	0,13.	0,00.	1,00.
y8.	0,63.	— 1,13.	— 9,38.	0,00.	— 2,13.	0,00.	0,00.	— 0,38.	1,00.	— 0,07.
дельта.	0,13.	— 0,63.	— 0,88.	0,00.	— 0,63.	0,00.	0,00.	0,13.	0,00.
БП.	b.	y1.	y2.	y3.	y4.	y5.	y6.	y7.	y8.	o.
y2.	0,18.	0,13.	1,00.	0,00.	0,54.	0,21.	0,00.	— 0,03.	0,00.	1,40.
y6.	0,82.	— 7,13.	0,00.	0,00.	1,46.	— 0,21.	1,00.	0,03.	0,00.	— 0,12.
y3.	0,10.	0,36.	0,00.	1,00.	0,31.	— 0,03.	0,00.	0,13.	0,00.	0,29.
y8.	2,31.	0,08.	0,00.	0,00.	2,92.	1,92.	0,00.	— 0,62.	1,00.	30,00.
дельта.	0,28.	— 0,51.	0,00.	0,00.	— 0,15.	0,18.	0,00.	0,10.	0,00.
БП.	b.	y1.	y2.	y3.	y4.	y5.	y6.	y7.	y8.	o.
y2.	0,14.	0,00.	1,00.	— 0,36.	0,43.	0,21.	0,00.	— 0,07.	0,00.
y6.	2,86.	0,00.	0,00.	19,86.	7,57.	— 0,71.	1,00.	2,57.	0,00.
y1.	0,29.	1,00.	0,00.	2,79.	0,86.	— 0,07.	0,00.	0,36.	0,00.
y8.	2,29.	0,00.	0,00.	— 0,21.	2,86.	1,93.	0,00.	— 0,64.	1,00.
дельта.	0,43.	0,00.	0,00.	1,43.	0,29.	0,14.	0,00.	0,29.	0,00.

Оптимальный план у^*=,, получаем цену игры и компоненты q_j^* оптимальной смешанной стратегии q^* игрока В: q₁^*=vy₁^*=, q₂^*=, q₃^*=0, q₄^*=0.

Их симплекстаблицы выпишем решение двойственной задачи: х^*=.

Теперь находим компоненты р_j^* оптимальной смешанной стратегии р^* игрока А: р₁^*=vх₁^*=, р₂^*=0, р₃^*=, р₄^*=0.

Итак, решение игры: р^*=, q^*=, .

4. На участках климатических зон I, II и III предполагается выращивать культуры: пшеницы, картофель, сою, кукурузу. Урожайность культур зависит от погодных условий летом. Вероятности наступления тех или иных погодных условий для зон I и II известны. Для зоны III их спрогнозировать невозможно. Значения прибыли, рассчитанные на основе накопившегося опыта для различных погодных условий, приведены в таблице. Используя различные критерии статистических игр (Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (для и для)) дать рекомендации по выращиванию культур в различных зонах Таблица 3.

Культура.	Лето.
Жаркое сухое.	Жаркое влажное.	Теплое сухое.	Теплое влажное.	Прохладное сухое.	Прохладное влажное.
Картофель.
Пшеница.
Соя.
Кукуруза.
I (вероятности наступления).	¼.	1/8.	¼.	1/8.	1/8.	1/8.
II (вероятности наступления).	1/6.	1/6.	1/6.	1/6.	1/6.	1/6.

В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия Аi, при которой максимизируется средний выигрыш = = = 393,75 для I зоны и для II зоны = = = 383.33.

Таблица 4.

Культура.	П.	(I зона).	(II зона).
П1.	П2.	П3.	П4.	П5.	П6.
А1.
А2.							393,75.	383,3333.
А3.							306,25.
А4.							137,5.	183,3333.
qi (I зона).	¼.	1/8.	¼.	1/8.	1/8.	1/8.
qi (II зона).	1/6.	1/6.	1/6.	1/6.	1/6.	1/6.

Оптимальная стратегия в данном случае для первой и второй зоны вторая.

Для критерия Лапласа q_i =. Тогда = = = 283,33. Тогда оптимальная стратегия в данном случае первая или четвертая для двух зон.

Найдем оптимальную стратегию по Вальду.

Значит, по Вальду оптимальная стратегия для двух зон вторая.

По критерию Гурвица находим.

Для.

функция матрица статистический Таблица 5.

П1.	П2.	П3.	П4.	П5.	П6.
А1.
А2.
А3.
А4.

max{425; 4700;550;450}= 550. Тогда оптимальная стратегия в данном случае третья.

Для.

Таблица 6.

П1.	П2.	П3.	П4.	П5.	П6.
А1.
А2.
А3.
А4.

max{250; 260;200;100}= 260. Тогда оптимальная стратегия в данном случае вторая.

Для критерия Сэвиджа найдем риски r_ij.

Таблица 7.

П1.	П2.	П3.	П4.	П5.	П6.	ri.
А1.
А2.
А3.
А4.

Тогда находим = min{400;450;350;250} = 250 = r₄. Тогда оптимальной стратегией является четвертая.

5. Составить оптимальный план перевозок зерна из четырёх районов А1, А2, А3, А4 республики, к которых запасы составляют соответственно 100, 50, 50 и 100 тыс. ц., на пять элеваторов В1, В2, В3, В4, В5, мощности которых равны соответственно 50, 30, 20, 100 и 50 тыс. ц. Затраты на перевозку одного ц. зерна из районов на элеваторы приводятся в следующей таблице. Составить оптимальный план перевозок зерна и найти его стоимость. Решить задачу методом потенциалов, составить первоначальный план по методу наименьших тарифов.

Найдём такой план перевозок, который полностью минимизирует суммарные транспортные издержки при обязательном условии, что продукция пункта, в котором себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью.

Поскольку запасы грузов превышают мощности элеваторов, вводится фиктивный потребитель, спрос которого b₆==300−250=50. Все тарифы фиктивного потребителя равны нулю: с_5i=0. Имеем транспортную задачу закрытого типа, которую решаем методом потенциалов.

Запишем условие в таблице:

Таблица 8.

Районы.	Элеваторы.	Запасы, аi.
В1.	В2.	В3.	В4.	В5.
A1.
A2.
A3.
А4.
А5.
Мощности элеваторов вj.

Загрузка начинается с клетки, которой соответствует наименьший тариф с_ij из всей матрицы тарифов. Возьмём клетку (5;2) х₅₂=0. В клетку (5;2) вписываем число с₅₂=min (40;120)=40 и исключаем из дальнейшего рассмотрения пятую строку. Из оставшихся тарифов наименьший возьмём для клетки (1;5) х₁₅ =1.В клетку (1;5) вписываем число с₁₅ =min (50;100)=50 и исключаем из дальнейшего рассмотрения пятый столбец. Из оставшихся тарифов наименьший для клетки (4;1), х₄₁=1. В клетку (4;1) вписываем min (50;100)=50. Исключаем из дальнейшего рассмотрения первый столбец. Из оставшихся тарифов наименьший для клетки (2;2), х₂₂=1. В клетку (2;2) вписываем min (120;50)=50. Исключаем из дальнейшего рассмотрения вторую строку. Из оставшихся тарифов наименьший для клетки (4;3), х₄₃=2. В клетку (4;3) вписываем min (20;100−50)=20. Исключаем из дальнейшего рассмотрения третий столбец. Из оставшихся тарифов наименьший для клетки (3;4), х₃₄ =2 вписываем min (100;50)=50. Исключаем из дальнейшего рассмотрения третью строку. Из оставшихся тарифов наименьший для клетки (4;2), х₄₂ =3 вписываем min (120−50−40;100−50−20)=30. Исключаем из дальнейшего рассмотрения четвертую строку. Из оставшихся тарифов наименьший для клетки (1;4), х₁₄ =3 вписываем min (100−50;100−50)=50. Исключаем из дальнейшего рассмотрения четвертый столбец и первую строку. В результате полного распределения грузов получаем исходное опорное решение. В таблице получен вырожденный план, т.к. число загруженных клеток не удовлетворяет условию m+n-1=4+6−1=9. Добавим клетку с нулевой перевозкой х₃₆ =0. Для определения потенциалов поставщиков и потребителей имеем систему уравнений:

Поскольку число уравнений системы на единицу меньше числа потенциалов (система неопределённая), для её решения одному из потенциалов придаётся произвольное значение. Положим u₁=0. Все остальные потенциалы определяются однозначно. Найденные потенциалы поставщиков и потребителей указаны справа и внизу в клетках таблицы:

Таблица 9.

						— 2.
						— 1.
						— 3.

Определяем оценки свободных клеток: д₁₁ = 4-(0+1)=3, д₁₂=5-(0+3)=2, д₁₃=4-(2+0)=2, д₂₁=4-(1−2)=5, д₂₃=6-(2−2)=6, д₂₄=2-(3−2)=1, д₂₅=2-(1−2)=3, д₃₁=5-(1−1)=5, д₃₂=5-(3−1)=3, д₃₃=3-(2−1)=2, д₃₅=1-(1−1)=1, д₄₄=3-(3+0)=0, д₄₅=1-(0+1)=0, д₅₁=0-(1−3)=2, д₅₃=0-(2−3)=1, д₅₅=0-(1−3)=2.

F (X₁)=50*3+50*1+50*1+50*2+50*1+30*3+20*2+40*0+0*0=530.

Полученный план оптимален и единственный. Среди оценок не имеется отрицательных.

Для этого плана значение целевой функции.

F (X^*)=50*3+50*1+50*1+50*2+50*1+30*3+20*2+40*0+0*0=530.