Поиск экстремума функции отклика. 
Оценивание градиента

Как в методе Бокса и Уильсона, так и в других методах поиска экстремума функции отклика, основу которых составляет метод градиента, используется не сам градиент, а его оценка. Ниже приводятся общая постановка задачи оценивания градиента и ее решение.

Пусть функция отклика ц = f (X_l, X₂, …, Х_к) определена в области G с R^k.

Рассмотрим произвольную точку Х° е G. Используя точку .X⁰ = (Х]°, Х₂°, …, Х°)' как центр плана, посмотрим полный или дробный факторный эксперимент. Обозначим через Х° значение, принимаемое переменнойX, (i = 1, 2,…, к) на l-м уровне (I = 1, 2). Верхний Х°₂ и нижний Xf, уровни выбираем симметричными относительно центра плана, чтобы выполнялось условие X, = (Х°, + Х°₂)/2 ([' = 1, 2,…, к). Очевидно, что коорденированная переменная.

где S,⁰ = (Х?₂ -Х°,)/2 — интервал варьирования.

Выразим функцию отклика через кодированные переменные:

Переход к новым переменным означает перенос начала координат в точку Х° и сжатие (растяжение) по координатным осям.

Под задачей оценивания градиента будем понимать определенные оценки градиента функции отклика f_k(x_v х₂, …, x_fc) в точке х° = (х°, х₂,…, х°У, где х,° = 0 (z = 1,…, к). Предположим, что в окрестности точки (х°, х₂,…, х°)' функция отклика допускает разложение по формуле Тейлора вида.

где Используя значения.

можно записать, что функция отклика.

Легко видеть, что grad /, (х°) = (р ?, Р2> р°)'. Поэтому задача оценивания градиента сводится к нахождению МНК-оценок неизвестных параметров р ?, Р°> •••" РПусть D = (х_ш) (i = = 1, 2, …, к; и = 1, 2,N) — матрица полного или дробного факторного плана с центром в точке х° = (х°, х₂, …, х°).

Для случая, когда ц = /, (х, х₂). Для простоты изложения будем считать, что в области Т = {(Xj, х₂, …, х*.)': -1 < х, < 1} поверхность отклика достаточно точно аппроксимируется гиперплоскостью, т. е.

Тогда, еслиХ = (x_;Y) (j = 0,1,…, к;и = 1, 2,…, N) — матрица независимых переменных, соответствующая матрице плана D = (x_iu) и функции отклика, МНК-оценка параметра р,° равна.

гд, еу₁, у_2>____, y_N — наблюдения в точках плана.

Для двумерного случая матрица независимых переменных.

Поскольку pf, Р₂, Р" представляют собой оценки составляющих градиента р°, р₂, …, р° или частных производных.

df У/i с/,.

—5, —о, то МНК-оценка градиента функции отклика.

иХ-^ ОХ2.

в точке (х", х₂, х°)' равна.

Оценка градиента функции отклика в точке (х°, х₂, …, х°)' совпадает с градиентом ее оценки в этой точке.

Покажем задачу оценивания градиента на более общих, чем рассмотренный, примерах.

Пример 3.9

Пусть функция отклика Г| = /Дх, х₂) — функция кодированных переменных х_у и х₂. Матрица плана и результаты наблюдений приводятся ниже.

Используя результаты наблюдений и аппроксимацию функции отклика в области Г = {(х₃, х₂)': -1 < х, < 1} вида ц ~ р₀ + pjXj + + i₂^x2 + необходимо найти оценку градиента в центре плана, т. е. в точке (xf, х₂)', где х® = х₂ = 0. Очевидно, что.

Так как матрица независимых переменных.

является матрицей ортогонального планирования, то.

Отсюда МНК-оценка градиента в точке (х®, х₂)'.

Пример 3.10.

Пусть г| =/₁(х₁, х₂, х₃) — функция отклика кодированных переменных х, х₂, х₃. Предполагается, что функция отклика в области Г = {(xj, х₂, х₃)'; -1 < х, < 1}; достаточно хорошо аппроксимируется функцией вида

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Необходимо найти оценку градиента функции отклика в центре плана или в точке (х°, хх$)', где хf = 0 (i = 1, 2, 3). Легко видеть, что градиент и, следовательно, оценка градиента и окончательно.

В рассмотренных примерах при оценивании градиента в центре плана по результатам факторного эксперимента использовались нелинейные аппроксимации поверхности отклика. В силу ортогональности планирования значение оценок градиента в этих примерах не изменяется, если для описания поверхности отклика воспользоваться полиномами 1-й степени от тех же переменных.