Расчет системы с переменной структурой управления

С помощью алгоритма статистического моделирования динамических систем с сосредоточенными переходами проведем расчет системы с переменной структурой управления.

Рассмотрим системы с переменной структурой управления как системы с сосредоточенными переходами.

В динамических системах с условной марковской случайной структурой с сосредоточенными переходами смена структуры совершается в случайные моменты времени при достижении реализациями случайного процесса в фазовом пространстве некоторых границ, т. е. происходит поглощение реализаций на границе 5/_г, разделяющей 1-е состояние от r-го (и функция поглощения имеет аналитический вид формулы (4.33) из пособия [31]).

Вид функции q_ri (в формуле (4.33) из пособия [31]) определяется физическим содержанием задачи и характеризует начальные условия при восстановлении процесса в г-м состоянии при переходе из /-го состояния. Могут иметь место различные условия восстановления, определяемые функциями <7_Г/. В частности, если.

то восстановление точное («жесткое», «без потерь»), т. е. конечные условия процесса в l-м состоянии совпадают с начальными в r-м состоянии. В общем случае условная функция qi_r(t, y , у') может иметь произвольный закон распределения фазового вектора у в состоянии г при заданном y'(t) в состоянии /.

Система с переменной структурой управляющего устройства может быть построена с помощью соответствующего набора типовых элементарных нелинейных звеньев, называемых Ф-ячейками. Логический элемент Ф-ячейка — скачком изменяет коэффициент усиления в цепи управления. Уравнение Ф-ячейки имеет следующий вид:

где щ — выходной управляющий сигнал; /иЛ2* ~ коэффициенты усиления переключаемой цепи управления; д — сигнал переключения. Тогда уравнения функционирования данной системы имеют вид [96]:

где fi — детерминированные внешние сигналы, 7_?; - коэффициенты. Данную систему можно рассматривать как систему со случайной структурой, и число возможных структур равно S = 2^Пи₁, где п_и — число элементарных Ф-ячеек.

Таким образом, система с переменной структурой управления является системой со случайной структурой с сосредоточенными переходами. Можно также рассматривать эту систему как имеющую единую структуру со сложным нелинейным управляющим устройством.

Движение в системе с переменной структурой управляющего устройства состоит из этапа вхождения в режим скольжения и этапа скользящего движения с переключением, когда изображающая точка фазовой траектории находится вблизи гиперплоскости переключения S. Если параметры 1ц, /гь ^с выбраны таким образом, что выполняются условия скользящего режима, то движение системы без возмущений происходит вблизи гиперплоскости S.

При наличии случайных возмущений в рассматриваемых системах возможны срывы скользящего режима переключения. Действие помех приводит к дополнительным погрешностям при воспроизведении заданного сигнала, а также вызывает изменения статистических и динамических свойств системы и может приводить к паразитным движениям.

Так как практически все системы работают в условиях помех, то задача их вероятностного анализа актуальна.

Численные расчеты проведем с помощью алгоритма на основе метода Эйлера. При численных расчетах моделируется точное условие восстановления.

В качестве демонстрационного примера рассмотрим систему с переменной структурой управления, когда структура и параметры системы выбираются таким образом, чтобы при отсутствии помех в системе выполнялось скользящее движение на гиперплоскости переключения.

Система описывается уравнениями.

где уравнение гиперплоскости переключения д = су 4- у2 = 0, а сигнал переключения равен д = b-2(cyi + у2) [96].

Рассмотрим систему как двухструктурную. Эти структуры реализуются в областях, соответствующих условиям уд > 0 и уд < 0.

Случайные возмущения существенно изменяют характер движения. Если без возмущений в системе наблюдался скользящий режим, то параметры /1, 61, Л, с выбираются из условия скользящего режима при отсутствии возмущений: b2 А = 1, /2 < —с² + (i2C — а < 1_: с > 0 [96]. Скользящий режим означает, что после попадания фазовой точки из начальных значений уо на линию переключения д = 0 точка начинает двигаться по ней.

Посмотрим, как предложенный алгоритм будет оценивать решение. Задача была просчитана на интервале [0, 200] с шагом h = 0.05. При численном решении задавались.

Для оценки функционалов от решения моделировалось 10⁶ траекторий. На рис. 2.40 приводятся графики фазовой траектории при отсутствии шума (сплошная линия) и при шуме (точки) для математических ожиданий. На рис. 2.41 приведен фазовый портрет одной траектории при наличии шума. Па рис. 2.42 и рис. 2.43 приведены графики математических ожиданий первой (рис. 2.42) и второй (рис. 2.43) компонент решения (без шума сплошная линия; с шумом точки). Из графиков видно, что помехи изменили характер движения: срывается скользящий режим переключения на заданной гиперплоскости. Также оценивались.

Рис. 2.40. Фазовая кривая (нулевой шум) и математическое ожидание при шуме (точки).

вероятности состояния.

Рис. 2.41. Фазовая траектория при наличии шума.

Рис. 2.42. Первая компонента решения (нулевой шум — сплошная линия) и математическое ожидание первой компоненты решения (при наличии шума точки).

Рис. 2.43. Вторая компонента решения (нулевой шум — сплошная линия) и математическое ожидание второй компоненты решения (при наличии шума — точки).

Рис. 2.44. Вероятности состояния при наличии шума.

Численные результаты демонстрируют хорошую работу алгоритма и позволяют анализировать изменение в поведении решения при наличии помех.