Построение доверительного интервала

Примером интервальной оценки является доверительный интервал. Доверительный интервал — это отрезок, центром которого является точечная оценка числовой характеристики, включающий истинное значение данной числовой характеристики с заданной вероятностью. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. Таким образом, доверительный интервал является мерой точности оценки, а доверительная вероятность характеризует достоверность оценки. Размер доверительного интервала зависит от того, каким значением доверительней вероятности задается экспериментатор. Чем больше доверительная вероятность, тем шире должен быть интервал, чтобы с заданной вероятностью включать в себя истинное значение числовой характеристики. В практической деятельности часто выбирают значение доверительной вероятности Р_д = 0,95, полагая таким образом, что это значение достаточно велико, чтобы считать, что доверительный интервал «практически всегда» накрывает истинное значение. Только иногда, в случае ответственных и очень ответственных исследований полагают Р_д = 0,99 и 0,999 соответственно.

Процедура построения доверительного интервала включает в себя два этапа:

• 1) записывается вероятностное утверждение относительно некоторой случайной функции, включающей в себя разность или отношение оценки и числовой характеристики. Такая функция несет информацию о степени близости этих величин. Необходимо, чтобы закон распределения упомянутой функции был известен;
• 2) вероятностное утверждение преобразуется к виду, при котором границы доверительного интервала числовой характеристики представлены в явном виде.

Примерами функций с известным распределением, которые удовлетворяют необходимым требованиям, являются следующие:

имеющая нормальное распределение;

имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы т = N-1;

имеющая распределение Пирсона %² с числом степеней свободы т = N — 1.

Здесь использованы обозначения: х — среднеарифметическое зна;

л чение X; <3²[Х] — дисперсия X; С²[Х] — несмещенная оценка дисперсии, вычисляемая по формуле (1.14); а[Х] — среднее квадратическое отклонение (СКО), равное корню из дисперсии; о[Х] — оценка СКО, равная корню из 0²[Х]; N — объем выборки.

Построим доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии. Поскольку функция (1.17) распределена нормально, можно использовать соответствующую таблицу для определения значения Z_a, такого что за пределами -Z_a и +Z_a остается часть площади, равная а, тогда как в пределах [-Z_a, +Z_a] заключена часть площади, равная 1 — а (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Доверительный интервал при уровне значимости а.

Приведенное выше положение можно записать в виде следующего вероятностного утверждения:

(вероятность выполнения неравенства, заключенного в фигурных скобках, равна 1 — а).

Преобразуем выражение в фигурных скобках: или.

Величина 1 — а определяет доверительную вероятность Р_д: 1 — а = Р_д. Значению вероятности Р_д соответствует доверительный интервал, который для оценки М[Х], выраженной посредством х, задается нижним у V вШ — о[Х]

X-Z_a , — и верхним X + Z_a , — пределами соответственно. Таким л/ N л/N

образом, интервальная оценка задается выражением.

Замечание. Таблицы нормального распределения в разных книгах строятся неодинаково. В справочниках приводится таблица х.

Ф₀Ос) = J/(x)dx. Ее можно использовать для наших целей, если полоо жить, а = 1 — 2Ф₀(х), Z_a = х. Неудобств, связанных с проведением промежуточных расчетов, можно избежать, воспользовавшись табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вероятности /_ц при различных значениях а (нормальное распределение).

В практических ситуациях наиболее часто встречаются значения Z₀д = 1,64 и Z₀ os = 1,96. Полезно учитывать, что попаданию случайной величины х в интервал отЗа до +3а соответствует вероятность 0,9973, т. е. Р{-За <�М[Х] < +3а} = 0,9973. Это означает, что практически весь диапазон изменения случайной величины относительно М[Х] сосредоточен в интервале ±3а («правило За»).

При построении доверительного интервала для математического ожидания М[Х] при известной дисперсии используются функция (1.18) и распределение Гаусса (нормальной закон).

При построении доверительного интервала для математического ожидания М[Х] при неизвестной дисперсии используются функция (1.19) и распределение Стьюдента.

При построении доверительного интервала для дисперсии а² используются функция (1.20) и распределение Пирсона. Процедура построения аналогична рассмотренной выше.