Проверка адекватности модели

Модель, является адекватной, если она соответствует имеющимся экспериментальным данным. Здесь слово «соответствует» означает, что выбор более сложной модели не приведет к улучшению ее прогнозирующих свойств: существующая модель достаточна. При увеличении количества экспериментальных данных может случиться так, что модель утратит адекватность и возникнет необходимость ее усложнения.

Проверка адекватности сводится к сравнению погрешностей предсказания модели и погрешностей эксперимента. Если эти два вида погрешностей соизмеримы, то можно предполагать, что модель адекватна.

Погрешность предсказания характеризуется оценкой остаточной дисперсии а|:

где N — число экспериментальных точек; к — число коэффициентов регрессии; Nк = m_R — число степеней свободы 6|.

Погрешность эксперимента определяет дисперсия Gg, называемая дисперсией ошибок. Если она известна, то достаточно проверить гипотезу g| < Gq. Это можно сделать, вычислив отношение.

которое имеет распределение %² Пирсона с числом степеней свободы т = N — к. Вычисленное значение сравнивают с критическим значением Ха, т• Если х² < Ха, т' ^то модель адекватна.

Однако, как правило, Gg неизвестна. Тогда необходимо оценить дисперсию воспроизводимости отклика G²:

где N (n-l) = m_B — число степеней свободы оценки дисперсии воспроизводимости; N — число опытов; п — число параллельных наблюдений в каждом опыте; уц — отклик при опыте; и наблюдении I; у; — среднее.

— 1 ^п

по наблюдениям в опыте;, у, — = — У у_{.

Оценка дисперсия воспроизводимости с², как и Oq, характеризует рассеяние результатов эксперимента.

Модель адекватна, если отношение F = которое имеет распреде;

гт²

ление Фишера, не превышает критического значения F_{a> m} :

Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Полученные в регрессионном анализе коэффициенты является функцией случайных результатов опыта, поэтому необходимо проверять их значимость. Если некоторый коэффициент b_t значим, то можно утверждать, что фактор x_t действительно влияет на отклику. Конечно, такое утверждение предполагает, что с вероятностью, равной уровню значимости а, возможна ошибка 1-го рода. Проверка значимости осуществляется посредством вычисления величины t_{ по уравнению.

где a²(b () = -da — оценка дисперсии воспроизводимости коэффициента bjj d_i{ — диагональные элементы матрицы D (1.60); ?₍— подчиняется распределению Стьюдента.

Необходимо сравнить t_t с критическим значением t_{a m}, где т = N (n- — 1). Если t_f > t_{a m}, то коэффициент b_t значим, поскольку отвергается гипотеза Н₀: Ь, — = 0.

Формула (1.66) относится к наиболее распространенному случаю, когда неизвестна дисперсия ошибок Oq и приходится вместо нее пользоваться оценкой дисперсии воспроизводимости о².

Если же мы знаем то вместо критерия t_{ следует пользоваться критерием

имеющим нормальное распределение.

Пример 1.8

Пусть отклику линейно зависит от факторов х_г и х₂. Исходные данные для проведения регрессионного анализа приведены в табл. 1.7. Пусть, кроме того, известно, что o^j = 1.

Таблица 1.7

Значения переменных и отклики в 10 опытах.

Решение

Таким образом, имеем Вычисляем:

После этого находим.

Таким образом, b₀ = 9,39; Ь_г = 0,13; Ъ₂ = 0,61, и уравнение регрессии имеет вид Формула (1.63) позволяет теперь рассчитать оценку дисперсии ошибок 6|:

При расчете были использованы табл. 1.7 и уравнение регрессии (1.72). Теперь проверим адекватность модели (1.68), используя критерий %^[1]:

Критическое значение Хо, о5-, 7 = 14,1.

Поскольку х^{[1] то} модель (1.68) является адекватной.

Следующим шагом является проверка значимости коэффициентов регрессии. Ввиду того что значение известно, воспользуемся критерием (1.67): I Ь I.

Uj = ,^[3][4][5], где d_u — диагональные элементы матрицы D — берутся из матрицы.

V^O dii

(1.69). Вычисления дают:

По таблицам нормального распределения находим и_а для ос = 0,05: ^ио, 05 = !>9^[6];

Мы видим, что значимым является только коэффициент b₀ (и₀ > и_а). Повторное обращение к таблицам показывает, что коэффициент Ъ₂ можно считать значимым только при, а = 0,1 (что соответствует доверительной вероятности 0,90). Коэффициент Ъ_г незначим при любых разумных значениях а. При малом числе экспериментальных точек незначимость коэффициентов регрессии является обычным делом. Поэтому для практических целей надо брать объем выборки не менее нескольких десятков.

им. Н. Э. Баумана. Регрессионный подход обеспечивает возможность построения трактов обработки информации в реальном времени, обладающих свойствами робастности и непараметричности. Инвариантность к неинформативным параметрам сигналов допускает адаптацию этих систем к конкретным условиям применения. В дискретно-аналоговых регрессионных системах обнаружение и распознавание случайных процессов может проводиться при использовании нейросетевой технологии обработки интервалов между нулями входных реализаций. Те же системы, основываясь на обработке огибающих входных реализаций, могут обеспечивать распознавание случайных процессов по форме спектра. Регрессионные принципы лежат в основе построения различных, в том числе адаптивных систем обнаружения и распознавания радиосигналов, а также многоканальной пеленгации локализованных источников широкополосных и узкополосных излучений.

• [1] Незначимость коэффициента регрессии означает, что он несуще
• [2] Незначимость коэффициента регрессии означает, что он несуще
• [3] ственно отличается от нуля, и поэтому соответствующий член должен быть исключен из уравнения регрессии. После этого необходимо
• [4] повторно вычислить коэффициенты регрессии и провести статистиче
• [5] ский анализ.
• [6] Следует отметить, что регрессионные способы обработки находятширокое применение при построении информационных и управляющих систем различного, в том числе и специального назначения. Соответствующие научные исследования проводятся на кафедрах «Автоматика и управление» Московского политехнического университетаи СМ-5 «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ