Математические методы в социально-гуманитарных науках

Математические методы в социально-гуманитарных науках: закономерности, специфика и этапы применения.

Процесс внедрения математических методов в исследовательскую практику социально-гуманитарных наук (получивший название математизации социального знания) является многоаспектным, содержит в себе черты как интеграции, так и дифференциации современной науки. Применение математических методов в исторических исследованиях обладает определенной спецификой по сравнению, например, с аналогичным процессом в социологических или в экономических исследованиях. В то же время этот процесс имеет определенные общие черты с процессом математизации естественных наук. Рассмотрим кратко некоторые методологические проблемы, связанные с применением математических методов в социально-гуманитарных науках и имеющие существенное значение для нашего дальнейшего обсуждения вопросов построения математических моделей исторических процессов и явлений.

Наиболее общей в методологическом плане является проблема объяснения принципиальной возможности использования математики в различных областях знания. Обсуждая эту проблему, известный математик, акад. Б. В. Гнеденко пишет о «мучительном вопросе, который ставили перед собой многие поколения математиков и философов: каким образом наука, казалось бы, не имеющая прямых связей с физикой, биологией, экономикой, применяется с успехом ко всем этим областям знания?». Этот вопрос тем более уместен, что понятия математики и выводы из них, которые вводятся и строятся без явных видимых связей с проблемами, понятиями и задачами различных дисциплин, все чаще находят в них применение и способствуют более точному познанию.

Главными «заказчиками» для развития математики сегодня являются, наряду с естественнонаучными, и гуманитарно-социальные дисциплины, выдвигающие задачи, которые слабо формализуются в рамках традиционной математики. Это существенно новый этап в развитии математики, если учесть, что на протяжении истории человечества действительный мир три раза давал мощные импульсы развитию математики. Первый раз — в древние времена, когда потребности счета и землепользования вызвали к жизни арифметику и геометрию. Второй сильный импульс математика получила в XVI—XVII вв., когда задачи механики и физики привели к формированию дифференциального и интегрального исчислений. Третий мощный импульс со стороны реального мира математика получает в наши дни: это науки о человеке, «большие системы» разных видов (в том числе и социальные), проблемы информации. «Можно не сомневаться, — отмечает Г. Е. Шилов, — что „структурализация“ новых областей математики, формирующихся под влиянием этого импульса, потребует у математиков многих лет и десятилетий напряженной работы» .

В этой связи представляет интерес и точка зрения выдающегося математика современности Дж. фон Неймана: «Решающая фаза применения математики к физике — создание Ньютоном науки механики — едва ли могла быть отделена от открытия дифференциального исчисления. …Важность социальных явлений, богатство и множественность их проявлений по меньшей мере равны физическим. Следовательно, надо ожидать — или опасаться, что потребуются математические открытия того же ранга, что дифференциальное исчисление, для того, чтобы произвести решительный переворот в этой области» .

Воздействие современного этапа научно-технической революции с ее важной социальной компонентой существенно изменило традиционное представление о математике как о «вычислительной» науке. Одним из главных направлений развития математики сегодня является исследование качественных сторон объектов и процессов. Математика ХХ века — это качественная теория дифференциальных уравнений, топология, математическая логика, теория игр, теория нечетких множеств, теория графов и ряд других разделов, «которые сами с цифрами не оперируют, а изучают соотношения между понятиями и образами» .

Важной методологической проблемой математизации социального знания является определение степени универсальности математических методов и моделей, возможности переноса методов, применяемых в одной области науки, в другую. В связи с этим следует, в частности, рассматривать вопрос о том, нужны ли специальные математические методы для исследования в социально-гуманитарных науках, или можно обойтись теми методами, которые возникли в процессе математизации естественных наук.

Основу для рассмотрения данного круга вопросов создает единство методологической структуры социального и естественнонаучного познания, обнаруживаемое в следующих главных пунктах: описание и обобщение фактов; установление логических и формальных связей, дедукция законов; построение идеализированной модели, адаптированной к фактам; объяснение и предсказание явлений.

Науки о природе и обществе осуществляют постоянный обмен методами: социально-гуманитарные науки все шире привлекают математические и экспериментальные методы, естественные науки — индивидуализирующие методы, системный подход и т. д.

Существенно, что использование математических моделей позволяет установить общность процессов, изучаемых различными отраслями знания. Однако, единство мира, общность основных принципов познания природы и общества отнюдь не уменьшают специфику социальных явлений. Так, едва ли смогут найти применение в социально-гуманитарных науках большинство математических моделей, созданных в процессе развития физики и других естественных наук. Это следует из того очевидного методологического положения, что именно специфика, внутренняя природа изучаемого явления или процесса должны определять подход к построению соответствующей математической модели. По этой причине аппарат многих разделов математики не используется в социально-гуманитарных науках. Наибольшее же распространение в этих дисциплинах получили методы математической статистики, основанные на результатах теории вероятностей. Объяснение этой ситуации потребует рассмотрения вопроса о закономерностях и этапах процесса внедрения математических методов в любой отрасли науки.

Опыт математизации научного знания свидетельствует о наличии трех этапов (их еще называют формами математизации) в этом процессе. Первый этап состоит в «численном выражении изучаемой реальности для выявления количественной меры и границ соответствующих качеств»; с этой целью проводится математико-статистическая обработка эмпирических данных, предлагается количественная формулировка качественно установленных фактов и обобщений. Второй этап заключается в разработке математических моделей явлений и процессов в рассматриваемой области науки (это уровень частных теоретических схем); он отражает основную форму математизации научного познания. Третий этап — использование математического аппарата для построения и анализа конкретных научных теорий (объединение частных построений в фундаментальную теоретическую схему, переход от модели к теории), т. е. формализация основных итогов самого научного знания.

В контексте нашего рассмотрения возникает необходимость хотя бы очень кратко затронуть вопрос — как определяется в современной науке понятие «математическая модель»? Как правило, речь идет о системе математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление; в общем смысле такая модель является множеством символических объектов и отношений между ними. Как отмечает Г. И. Рузавин, «до сих пор в конкретных приложениях математики чаще всего имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними. Эти взаимосвязи описываются с помощью уравнений и систем уравнений», в силу чего математическая модель обычно рассматривается как система уравнений, в которой конкретные величины заменяются математическими понятиями, постоянными и переменными величинами, функциями. Как правило, для этого применяются дифференциальные, интегральные и алгебраические уравнения. Получившаяся система уравнений вместе с известными данными, необходимыми для ее решения, называется математической моделью. Однако, развитие новейших разделов математики, связанных с анализом нечисловых структур, опыт их использования в социально-гуманитарных исследованиях показали, что рамки представлений о языке математических моделей должны быть раздвинуты, и тогда математическую модель можно определить как любую математическую структуру, «в которой ее объекты, а также отношения между объектами могут интерпретироваться различным образом (хотя с практической точки зрения математическая модель, выраженная с помощью уравнений, представляет собой наиболее важный тип модели)». математика арифметика геометрия наука Здесь уже содержится подход к решению вопроса о том, соответствуют ли результаты, полученные с помощью математических методов в той или иной сфере социального знания, тем эталонам, критериям, которые приняты в «точных» науках? С одной стороны, общественные и естественные науки используют набор критериев научности, основанных на одних и тех же гносеологических принципах. Основные требования к научному методу могут быть сведены к следующему: предметность, фактичность, полнота описания, интерпретируемость, проверяемость, логическая строгость, достоверность и т. д.

С другой стороны, исследовательская деятельность в рамках математического стандарта научности есть по преимуществу познание логически возможного; естественнонаучный стандарт ориентирован на получение результатов, эффективных для практической, предметной деятельности; социально-гуманитарный стандарт научного знания «ориентирован, помимо этого, на получение социально-значимых результатов, согласующихся с целями, основными ценностными установками социально-исторического субъекта». Не претендуя здесь на анализ сложной проблемы соотношения стандартов научности, отметим лишь очевидную несводимость процесса исторического познания к чисто логическим или математическим процедурам. Сопоставление реальных процессов математизации различных областей социального знания выявляет существенные различия в характере этих процессов, происходящие прежде всего из специфики природы знания в тех или иных социальных науках. Представляется, что дискуссии о пределах проникновения математических методов в социально-гуманитарные науки не могут быть плодотворными без выявления типов социального знания.

Второй аспект социального знания, влияющий на процесс его математизации, определяется зрелостью соответствующей научной области, наличием сложившегося концептуального аппарата, позволяющего на качественном уровне установить наиболее важные понятия, гипотезы и законы. «Именно опираясь на такой качественный анализ исследуемых объектов и процессов, можно ввести сравнительные и количественные понятия, выразить найденные обобщения и установленные закономерности на точном языке математики», получив тем самым эффективный инструмент анализа в данной научной области. В этой связи нам представляется справедливой точка зрения акад. Н. Н. Моисеева, который считает, что «принципиально нематематизируемых» дисциплин вообще не существует. Другое дело — степень математизации и этап эволюции научной дисциплины, на котором математизация начинает работать" .

Отмеченные факторы и особенности процесса математизации социального знания проявились и в опыте применения математических методов и моделей в исторических исследованиях, обладающих при этом определенной спецификой. Рассмотрим здесь ряд методических и методологических аспектов этого процесса, оказавшихся в последние годы в центре внимания историков, использующих в конкретно-исторических исследованиях методы математического моделирования.