Математика и инновации

Дух и суть математики лучше всего выражает известный афоризм «Математика есть доказательство» (Н. Бурбаки). Любое математическое доказательство (содержательное или формально-логическое) базируется на классической двузначной логике (такова металогика). Пифагор, Аристотель и Евклид, открыв дедуктивный вывод, сделали математику наукой. В течение двух с половиной тысячелетий математика развивается именно как дедуктивная наука. На этом пути возник и совершенствуется математический язык, способный выражать и описывать мир в структурных категориях формы, количества, меры. Математиками движут внутренние запросы и задачи практики. Прикладная математика поставляет модели явлений, более или менее адекватно отражающие реальность. Математические модели делятся на простые и сложные, жёсткие и мягкие (В. И. Арнольд). Сама же математика не может быть ни мягкой, ни скользкой, она — дедуктивная! Знаменитая теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики (1931 года) показала, что математика способна доказывать и недостаточность своих финитарных предпосылок. Но уже применение трансфинитной индукции позволило Генцену в 1936 году доказать непротиворечивость и полноту арифметики (а значит, обосновать и всю классическую математику). Заметим, что с помощью циркуля и линейки можно выполнить заметно больше построений, чем одной линейкой, но нельзя построить угол в 20°.

Сила логико-математических методов проявилась в доказательстве алгоритмической неразрешимости целого ряда математических вопросов и независимости одних утверждений от других; см., например, результаты Ю. В. Матиясевича [343] об алгоритмической неразрешимости диофантовых уравнений (десятая проблема Гильберта), К. Геделя и П. Коэна [281] о независимости аксиомы выбора и континнум-гипотезы от «абсолютной» теории множеств и друг от друга (первая проблема Гильберта). Нарастающую дедуктивную мощь математики продемонстрировало решение большинства проблем Гильберта [441] в XX веке, доказательство Великой теоремы Ферма (Эндрю Уайлс, 1994 год) и гипотезы Пуанкаре (Г. Я. Перельман, 2002 год). Возникают новые важные и интересные математические дисциплины: нечёткая логика, фрактальная геометрия, формализация неформализуемых понятий и др. Это строгие и чёткие дедуктивные теории, находящие приложения в других областях знания посредством математического моделирования.

В математическом образовании на первом месте должен быть сам предмет — математика. При обучении будущих учителей математики главное — профильность — Математика. Соответствующий ФГОС позволяет дать полноценную математическую подготовку бакалавров и магистров. Но во многих педвузах не хватает квалифицированных математических кадров, все бросились в педагогику — в разработку методических технологий, порой напоминающих шоу. В результате выхолащиваются математические курсы, выпускники пединститута плохо решают даже задачи элементарной математики. Для бакалавров-математиков необходимы: ликбез на I курсе; серьезные базовые математические дисциплины на протяжении всего срока обучения; сквозной курс элементарной математики; практикум по решению математических задач на компьютере; курсовая работа по математике; госэкзамен или ВКР по математике. Выпускник магистратуры должен знать современные основы и методологию предмета и быть готовым к его преподаванию в профильных классах. Магистратура должна готовить не только и не столько исследователей, а, в первую очередь, компетентных специалистов с фундаментальным образованием.

Настоящая наука всегда инновационна. А что такое инноватика в образовании? Это разновидность бизнеса? Но оказание платных образовательных услуг не всегда отвечает интересам государства и народа. Может быть, это придумывание новшеств? Но странным образом все нововведения сводятся к оптимизации, означающей, как правило, экономию денежных средств. Возможно, современная дидактика выведет образование на новый уровень? Но, как мы все хорошо видим, масса пустопорожних педагогических изысканий уже стала критической, а постоянно обновляемое школьное и вузовское образование неуклонно ухудшается. Не пора ли вернуться к Киселёву, но на новом витке, взвешенно используя информационно-коммуникационные технологии?!