Уравнения изменения внутрибаллистических параметров при горении унитарного топлива в системе сообщающихся сосудов переменной структуры с подвижными элементами

Рассматривается задача математического моделирования процессов динамики и теплои массообмена при функционировании высокотемпературных газожидкостных тепломеханических систем (ГЖТМС), представляющих собой совокупности объемов (сосудов), связанных газодинамическими связями в виде отверстий. Сосуды могут содержать подвижные элементы, движущиеся в инерциальном пространстве, связанном с корпусом системы, либо вся система может рассматриваться как движущаяся в инерциальном пространстве механическая система твердых тел. Энергия для движения подвижных элементов получается в результате горения моноблоков или зерен унитарного топлива, размещенных в сосудах системы. Учитывается прогрев стенок конструкции системы в процессе функционирования. Предполагается, что рабочее тело представляет собой двухфазную четырехкомпонентную гомогенно-гетерогенную смесь полидисперсных зерен горящего топлива, монодисперсного твердого остатка и равновесной бинарной газовой смеси продуктов сгорания двух типов без химических реакций между компонентами. Каждая компонента считается несовершенным газом, подчиняющимся термическому уравнению состояния Дюпре — Абеля [194, 227] (далее такой газ называется коволюм-газом [227]).

Уравнения, описывающие изменение параметров сосудов системы будем записывать для типового сосуда. В каждый момент времени типовой сосуд газодинамически связан отверстиями не более чем с ns смежными сосудами и является источником или стоком не более чем пк смежных каналов. Каждый типовой сосуд может содержать nz «собственных» зарядов, оформленных в виде закрытых мембранами полостей с насыпкой зерен или моноблоком унитарного топлива. В момент прорыва мембраны при некотором давлении Р₀ в сосуде объем сосуда увеличивается на W_r, а объем газовой фазы на W,?, где W_r = со_г/р_пг + W,⁰, со_г — масса заряда, р_пг — плотность топлива. Масса газовой фазы увеличивается на массу газа в объеме собственного заряда Y,⁰. Масса первой компоненты увеличивается на эту же величину, при условии, что в объеме заряда содержится первая компонента газовой фазы. Внутренняя энергия газовой фазы увеличивается на ?_г° — внутреннюю энергию газа в объеме заряда W,?. Воспламенение заряда происходит либо при достижении температурой газовой фазы после прорыва мембраны значения Г₀, либо после прогрева поверхности зерен, или моноблока до температуры воспламенения Г_в. Фильтрация продуктов сгорания в поры насыпки зерен считается мгновенной. Прогрев зерен и моноблоков описывается подобно прогреву стенок конструкции. Соответствующие математические модели представлены в гл. 6. В отличие от зерен, моноблоки не обладают аэробаллистическими свойствами и в процессе горения остаются в данном сосуде. Следует учесть, что подвижные элементы (ПЭ) системы могут разделять различные сосуды системы. Чтобы дважды не рассчитывать движение одного и того же ПЭ, будем полагать, что пе ПЭ данного сосуда включает nde «динамических» и пке «кинематических» ПЭ. Под динамическими ПЭ данного сосуда будем понимать такие ПЭ, уравнения движения которых входят в уравнения изменения параметров данного сосуда. Кинематические ПЭ данного сосуда — это ПЭ, движение которых либо задано, либо уравнения движения которых входят в уравнения изменения параметров какого-либо другого сосуда системы. Таким образом, каждый ПЭ может являться динамическим ПЭ только в одном из сосудов системы, давление в которых действует на этот ПЭ, а в остальных таких сосудах он является кинематическим ПЭ и его движение влияет на изменение объема рабочего тела в этом сосуде. Уравнения изменения параметров типового сосуда, в котором находятся срабатывающие в моменты t_r расчетного интервала времени собственные заряды, записываются как уравнения с разрывной правой частью, так называемые уравнения с толчками [236], в правые части которых входят сингулярные члены вида /_r8(t — t_r), где 8(t -1,) — 8-функция Дирака. Эти слагаемые обеспечивают скачкообразное изменение интегрируемых переменных на величину/_г в момент t_r. При этом производная понимается в обобщенном смысле [41]. Математическая модель изменения параметров типового сосуда включает в себя уравнения изменения массы Y_A газовой фазы в сосуде (3.3), массовой доли ?_п первой компоненты газовой фазы (3.4), массы горящих зерен топлива со₂ (3.5), массы твердого остатка со₃ в сосуде (3.6), внутренней энергии Е_г газовой фазы в сосуде (3.7), объема газовой фазы W_г (3.8), уравнения движения динамических ПЭ (3.9), (3.10), nz уравнений изменения приращения относительной величины свода AZ_r собственных зарядов-моноблоков (3.11), уравнение изменения приращения относительной величины свода AZ горящих зерен топлива (3.12). При записи уравнений предполагается, что рабочее тело в сосуде покоится, так что полная энергия газовой фазы совпадает с внутренней энергией, и уравнения изменения количества движения не рассматриваются.

бб

где V_nn, X_nn — скорости и координаты подвижных элементов; П_ш, Kj, П,. — газоприход из смежного сосуда i, канала;, от горения заряда — моноблока г; П — газоприход от горения зерен унитарного топлива; ^_1;) %_1;— — массовая доля первой компоненты в смежном сосуде i и на срезе смежного канала;; Я,., Я — полная удельная энтальпия топлива моноблока г и зерен при начальной температуре Г₀^Г, Т₀; Q = Q, + Q_T — сумма теплового потока в стенки сосуда Q, и теплового потока Q_T на прогрев твердого остатка; А_х — работа, совершаемая при расширении газа за счет движения подвижных элементов; Л₂з — работа, совершаемая газом при перетоке зерен топлива и твердого остатка между данным сосудом и смежными сосудами и каналами; со® — масса зерен в заряде г; W,® — свободный объем заряда г; ^_т, ?,_г — массовые доли твердого остатка в продуктах сгорания зерен и моноблока г; Я_лг, U" — линейная скорость горения моноблока г и зерен. Газоприход от горения моноблоков П,. рассчитывается с использованием геометрического закона горения. Сосуд системы с описанной математической моделью будем называть типовым газогенератором — цилиндром. Параметры д в уравнениях, равные 0 или 1, определяются структурой системы: 8®; = 1, если сосуд имеет газодинамическую связь со смежным сосудом i; '6°_к] = 1, если сосуд является источником или стоком смежного канала ;'; 8_r = 1, если в сосуде содержится собственный заряд г; 8® = 6р8?, где 8'_р = 1, если мембрана собственного заряда разрушена, 8^ = 1, если после разрушения мембраны выполнились условия воспламенения собственного заряда; Sr = 1, если продукты сгорания моноблока г представляют собой первую компоненту газовой фазы в сосуде; 8,? = 1, если собственный заряд г — зерненый; 6″ = 1, или 8″ = 1, если для собственного заряда г или зерен топлива, догорающих в сосуде, задана Н_г — полная удельная энтальпия топлива при начальной температуре То; 8″ = 0 или 8″ = 0, если вместо Н_г задана изохорная температура горения T_vr или T_v; 83 = 1, если динамический ПЭ с номером п существует и движется, то есть элемент форсирования разрушен; 8]| = 1, если кинематический ПЭ с номером п существует и движется. Величины ?,_1ш-, — это значения 4и в смежном сосуде i или на срезе смежного канала ;'. Величины ^_т, — массовые доли твердого остатка в продуктах сгорания зерненого топлива и собственного заряда-моноблока г.

Уравнения (3.3) — (3.12) замыкаются следующим образом. Расходы газовой фазы П_а; при истечении в (затекании из) смежный сосуд рассчитываются с использованием аналогов формул Сен-Венана для коволюм-газов [227]. При этом площади сечения отверстий газодинамических связей рассчитываются с учетом перекрытия части площади зернами топлива и твердого остатка.

где F_ai, Ft, — площадь, свободная для прохода газов при затекании из смежного сосуда i, или истечении в него из данного сосуда; S_ai, Sq — геометрическая площадь соответствующего отверстия; b_ai, — коэффициенты перекрытия площади частицами твердой фазы, расчет которых описан в подпараграфе 3.4.3. Расходы Kj на срезах смежных с данным сосудом каналов определяются после расчета течений в каналах. Газоприход П,. от горения моноблока г и газоприход П от горения зерен топлива рассчитываются с использованием линейной скорости горения и_л

Площади S_r поверхностей горения моноблоков считаются заданными функциями величин сгоревшей части свода. Алгоритмы расчета S_n — площади поверхности горения совокупности зерен, горящих в данном сосуде, рассматриваются в подпараграфах 3.4.5 и 3.4.6.

Реализующий расчеты пакет программ допускает определение газоприхода П с использованием массовой скорости горения U_M. При этом газоприход П пропорционален массе горящих зерен топлива и рассчитывается по формуле.

Расчетные формулы для линейной U" и массовой 1/_м скорости горения приведены в подпараграфе 3.3.3. Теплофизические свойства газовой фазы рассчитываются как для бинарной газовой смеси. При этом внутренние энергии, теплоемкости, газовые постоянные, вязкость и теплопроводность компонент задаются в виде табличных функций температуры. Вязкость и теплопроводность газовой фазы рассчитываются с использованием формул Уилки и Мейсона — Саксены [169], [49], [50], [235]. Температура газовой фазы рассчитывается в зависимости от внутренней энергии методом Ньютона на каждом шаге по времени. Работа А] в уравнении изменения энергии (3.7) рассчитывается по формуле.

где S" — площадь ПЭ п, на которую действует давление Р в данном сосуде, рассчитываемое по уравнению состояния Дюпре — Абеля. Расчет работы А₂₃, совершаемой газом при затекании или истечении зерен из сосуда, описан в подпараграфе 3.4.4. Расчет теплового потока Q изложен в параграфе 3.3.