Модели динамики типовых подвижных элементов и типовых механических и гидравлических подсистем

Типы подвижных элементов в сосудах и их математические модели

Подвижные элементы (ПЭ), размещенные в сосудах ГЖТМС, делятся на динамические и кинематические. Динамические — это такие ПЭ, движение которых описывается дифференциальными уравнениями, которые решаются, как правило, одновременно с расчетом параметров рабочего тела в сосуде. Кинематические — это такие ПЭ, движение которых либо задано кинематическими уравнениями движения, либо однозначно определяется движением некоторого другого ПЭ, размещенного в некотором сосуде или канале системы, и называемого определяющим по отношению к данному ПЭ, либо обусловлено горением поверхности заряда торцевого горения на неподвижном основании. Каждому типу ПЭ присваивается свой «номер типа подвижного элемента» — параметр NTPE. В реализующем методику ППП предусмотрены типы ПЭ, описанные ниже. Предполагается, что динамическим подвижным элементам соответствуют уравнения движения (3.9), (3.10), с правыми частями представленного ниже вида.

Динамический подвижный элемент типа «поршень постоянной массы и постоянной площади в неподвижном корпусе» (NTPE = 6) имеет уравнение движения с функцией/, вида.

где Р" — статическое давление в окружающей среде; т_п — масса ПЭ; ср — коэффициент присоединенных масс; S_n — площадь подвижного элемента, на которую действует перепад давлений;/_тр — коэффициент трения скольжения при движении по направляющей; 0 — угол возвышения корпуса; F_a, F/ — сила аэродинамического сопротивления и усилие форсирования. Усилие форсирования рассчитывается в предположении, что элемент форсирования представляет собой разрывной стержень длиной I, площадью сечения S₀, выполненный из материала с пределом текучести при растяжении s.

где Е — модуль Юнга. Сила аэродинамического сопротивления рассчитывается по формуле.

где С_х — коэффициент лобового сопротивления ПЭ; р" — плотность окружающей среды; S_m — площадь миделя ПЭ. Коэффициент С_х при движении ПЭ считается постоянным.

Математическая модель (3.9), (3.10), (5.1), (5.2) может использоваться и для расчета динамики разделения системы подвижный элемент-корпус при свободном правильном прямолинейном поступательном движении корпуса в атмосфере. При этом предполагается, что | У_пх | V_c, где V_c — скорость центра масс системы «корпус — ПЭ». Для характеристики направления движения ПЭ вводится параметр NAPR = 1, если ПЭ движется относительно корпуса в ту же сторону, что и центр масс относительно неподвижной системы отсчета, и NAPR = 2, если ПЭ движется в противоположную сторону. При этом.

Динамический подвижный элемент типа «поршень переменной массы и постоянной площади в неподвижном корпусе» (NTPE = 7), как правило, представляет собой поршень, снабженный встроенным газогенератором, из которого происходит истечение рабочего тела в данный сосуд с расходом.

где i — номер газогенератора как сосуда, смежного данному сосуду. Уравнения движения подвижного элемента с NTPE = 7 включают в себя уравнения (3.9), (3.10), с функцией.

где U_a, S_a, Р_а — скорость истечения на срезе сопла, площадь среза и давление на срезе сопла газогенератора. Изменение массы подвижного элемента описывается уравнением.

которое рассматривается как уравнение (3.9) для «фиктивного» подвижного элемента данного сосуда. При этом типовой сосуд не может содержать более трех ПЭ с NTPE = 7. В случае наличия в одном сосуде ПЭ с NTPE = 6 и NTPE = 7 одновременно общее число ПЭ определяется исходя из условия, по которому число пар дифференциальных уравнений (3.9), (3.10) не должно превышать шести. При этом каждому ПЭ с NTPE = 6 соответствует одна пара, а ПЭ с NTPE = 7 — две пары уравнений (3.9), (3.10). Величины U_a, Р_а в (3.9) определяются как параметры на срезе работающего сопла с потоком коволюм-газа [227].

Динамический подвижный элемент типа «поршень постоянной массы с непрерывной зависимостью площади от координаты» (NTPE =11) или типа «поршень постоянной массы со ступенчатой зависимостью площади от координаты» (NTPE =12) имеет уравнение движения (3.9) с функцией/, вида.

где Р — давление в сосуде, к которому отнесен подвижный элемент; Р_кг, Рдг2, Рд1з, P_N4 — давления в сосудах с системными номерами КТ, N2, N3, N4, которые влияют на движение данного подвижного элемента; S_N2, S_N3, 5дг4 — площади участков данного подвижного элемента, на которые действуют давления P_N2, Р_Мз, Рщ; S (x), х = Хр° — 8x,^N — зависимость площади данного подвижного элемента от координаты х, представляющей разность координаты Хр° подвижного элемента с номером р в сосуде с номером N0 и координаты х^ подвижного элемента с номером i в сосуде с номером N, 5 = 0 при Хр° < х₀, 8 = 1 при Хр° > х₀, где х + 0 — значение координаты Хр°, начиная с которого площадь S (x) начинает зависеть не от «абсолютной» координатыХр°, а от «относительной» координаты; Хр°-Хо; S, (х), х = Хр° — Sxf¹¹ — зависимость площади участка данного ПЭ, на который действует давление Р_К1 в сосуде К1 от относительной (при 5=1) или абсолютной (при 5 = 0) координаты х; х^¹ — координата ПЭ с номером; в сосуде с номером N1; R (x), х = Хр° — 5х^⁵ — зависимость силы сопротивления движения данного ПЭ от относительной (при 5 = 1) или абсолютной (при 5 = 0) координаты х; х^⁵ — координата ПЭ с номером К в сосуде с номером N5.

Для подвижного элемента с NTPE = 11 функции S (x), S_х(х), R (x) считаются непрерывными функциями координаты х. Для подвижного элемента с NTPE = 12 они считаются ступенчатыми функциями х. Предполагается, что при задании параметров N, N1, N5 — 0 функция 5 = 0 и S (x), Sj (x), R (x) зависят от абсолютной координаты х.

Для подвижных элементов с NTPE =11, 12, кроме уравнения движения (3.9), «переменную площадь» будет включать слагаемое уравнения.

(ЗЛО), выражающее изменение объема сосуда за счет движения ПЭ «переменной площади». Это слагаемое записывается в виде.

где S_w(x), x = Xp° — Sx_;^N6 — зависимость производной от объема по координате х_пп данного подвижного элемента от относительной (при 8 = 0) или абсолютной (при 8 = 1) координаты х; X;^N6 — координата ПЭ с номером 1 в сосуде с номером N6; функция 8_а = 0, прих^⁰ < Х2,8_а = 1 при Хр° >Х2. Таким образом предполагается, что влияние ПЭ переменной площади на объем данного сосуда начинается после достижения значения Х2.

Кинематические подвижные элементы сосудов — это такие ПЭ, для которых уравнения движения (3.9), (3.10) не решаются, но движение ПЭ учитывается при расчете изменения объема сосуда. Кинематический ПЭ постоянной площади (NTPE = 20) — это ПЭ, изменение объема сосуда за счет движения которого задается величиной.

где S_nn — площадь подвижного элемента с номером п в данном сосуде.

Кинематические ПЭ с непрерывной зависимостью площади и кинематические ПЭ со ступенчатой зависимостью площади от координаты — это подвижные элементы, которым присвоены номера типа для NTPE = 21 и NTPE = 22 соответственно. В этих случаях изменение объема сосуда при движении ПЭ задается аналогично (5.7) соотношением.

где Sw, х — х^¹ — 8х",² — зависимость производной от объема по координате х от относительной (при 6 = 1) или абсолютной (при 6 = 0) координаты х; х" ¹ — координата ПЭ с номером к в сосуде с номером N1; х,"² — координата ПЭ с номером т в сосуде с номером N2; х$³ — координата, а <³ — скорость подвижного элемента с номером N в сосуде с номером N3; 6 = 0 прих^¹ < Х₀, 5 = 1 прих^¹ >Х₀, 6] = 0 прих^¹ < Х_ъ 6i = 1 при x_fc^N1 > Х_г. Здесь Х₀ — значение координаты х^¹, начиная с которого учитывается отличие относительной координаты от абсолютной; Xj — значение х^ начиная с которого учитывается влияние движения ПЭ на объем данного сосуда.

Величины Si (x), S_N2, S_N3, S_N4, S_w(x), S^(x) в соотношениях (5.6)—(5.9) могут быть как положительными, так и отрицательными.

В данном параграфе приведены лишь простейшие модели подвижных элементов сосудов, предусмотренные в рамках пакета программ, реализующего описанную в настоящей работе методику. Кроме вышеописанных предусмотрены следующие типы динамических подвижных элементов:

• • левая и правая границы несжимаемого пластически деформируемого поршня, испытывающего трение о стенки канала переменной площади, модель которого заимствована из работ [19], [20], [93], [202] (NTPE = 31, NTPE = 32 соответственно);
• • ПЭ постоянной и переменной массы, движущиеся в пусковой трубе (NTPE = 34, NTPE = 35 соответственно);
• • свободно движущееся в атмосфере осесимметричное твердое тело (NTPE = 41);
• • составной ПЭ, поступательно движущийся относительно направляющих в свободно движущемся в атмосфере осесимметричном твердом теле (NTPE = 42).

Кроме этих ПЭ, модели части из которых представлены в следующих разделах, в рамках реализующего методику пакета программ возможен расчет динамики ПЭ, связанных невесомыми нерастяжимыми или тяжелыми деформируемыми тросами [163]. В рамках настоящей работы динамика и баллистика подобных систем не рассматривается.