Типовые сеточные граничные условия для течений в каналах тепломеханических систем

Физические основы постановки граничных условий на срезах каналов ТМС изложены в параграфе 4.6.1. В соответствии с ними будем выделять следующие типы граничных условий, присваивая им определенные значения параметра IGRU — индекса граничных условий.

Граничные условия первого типа — это условия на выходе из канала при истечении в смежный сосуд-сток (условия истечения).

Граничные условия второго типа — это условия на входе в канал при затекании из смежного сосуда-источника (условия затекания).

Граничные условия третьего типа — это условия взаимодействия потока с неподвижной или движущейся стенкой (условия отражения).

Граничные условия четвертого типа — это условия на движущейся или неподвижной поверхности горения унитарного топлива.

Постановка граничного условия (ГУ) на срезе канала, открывающемся в сосуд, включает два момента. Первое — это диагностика типа граничного условия затекание — истечение. Второе — это собственно формулировка связей между сеточными переменными, используемая в вычислениях. При рассмотрении нестационарных течений в каналах естественно проводить диагностику по знаку скорости течения в прилегающей к срезу канала ячейке сетки. При использовании явных разностных схем естественно диагностировать факт затекания-истечения по параметрам течения на предыдущем шаге по времени или на шаге предиктор. При этом, однако, появляются вычислительные сложности, связанные с дискретностью представления течения на достаточно грубой сетке и конечной точностью вычислений. Факт движения газа в приграничном узле в направлении среза канала еще не означает, что на срезе имеет место вытекание газа из канала. Такового не произойдет, если между приграничным узлом и срезом канала располагается точка торможения потока. Если давление торможения меньше, чем давление в сосуде, то на срезе будет иметь место затекание в канал из сосуда. При истечении из канала давление на его срезе в докритическом режиме полагается равным давлению в сосуде-стоке. При критическом и сверхкритическом истечении возможен допредельный режим, при котором на срезе реализуется критическое или сверхкритическое течение, и дифференциальные уравнения не требуют постановки ГУ на выходе из канала. В случае запредельного режима в канале вблизи выхода образуется прямой скачок уплотнения [243], [1], [204], течение за которым является дозвуковым, и давление на срезе канала должно равняться давлению в стоке, то есть ГУ соответствуют дозвуковому режиму истечения. Опишем сеточные ГУ на стыке канала и сосуда, соответствующем наибольшему значению продольной координаты в канале, полагая, что ближайший к срезу узел сетки имеет номер п, а срез соответствует грани ячейки с индексом п + ½. Пусть и_п, а_п, р_п, р'_п — скорость, скорость звука, давление и давление изэнтропического торможения в узле п, рЦ — давление торможения за прямым скачком уплотнения в потоке в узле п, p_s — давление в сосуде. Граничные условия формулируются следующим образом.

• 1. При 0 < и_п < а_п п р'_п > p_s реализуется дозвуковое истечение в сосуд. При этом давление на грани ячейки п + ½ считается равным p_s, что учитывается в Источниковых членах уравнений движения и энергии, а остальные параметры течения на грани ячейки получаются экстраполяцией из прилежащих узлов сетки.
• 2. При 0 < и_п< а_ппр'_п< p_s считается, что между узлом п и срезом канала располагается точка торможения потока в канале и происходит докритическое затекание в канал из сосуда, определяемое перепадом давления р'_п —* p_s.
• 3. При и_п > а" п р" > p_s реализуется сверхзвуковое допредельное истечение в сосуд. При этом все параметры потока на срезе канала экстраполируются из прилежащих узлов, а градиент давления в узле п рассчитывается с помощью односторонних аппроксимаций второго порядка точности.
• 4. При и_п > а_п n р" < p_s считается, что между узлом п и срезом канала располагается прямой скачок уплотнения, так что течение за ним докритическое и давление на срезе равно давлению в сосуде.
• 5. При и_п < а_пслр_п> p_s предполагается, что между узлом п и срезом канала находится точка торможения, так что реализуется истечение из граничной ячейки в сосуд, определяемое перепадом давления р'_п —* p_s.
• 6. При и" < On р" < p_s происходит затекание в канал, определяемое перепадом давления p_s —*• р".

Расчет параметров течения в узле п при затекании в канал и при истечении из канала описаны ниже.

Дополнительные вычислительные сложности связаны с необходимостью адекватного расчета неподвижных состояний, которые в процессе счета испытывают естественные возмущения, обусловленные погрешностью аппроксимации. В силу этого на открытом в сосуд срезе канала может происходить потеря устойчивости, вызванная переключением типа граничного условия, происходящим вблизи состояния покоя в условиях вычислений с конечной точностью. Поэтому постановка граничных условий должна предусматривать как правильное отслеживание смены типа течения на срезе канала, так и возможность устойчивого счета состояний покоя на стыках канал—сосуд.

Устойчивый счет состояний покоя и близких к ним состояний достигался следующим образом. Диагностика факта истечение — затекание проводилась не по знаку скорости, а при выходе значения скорости из некоторого симметричного интервала. Состояние течения со скоростью внутри этого интервала считалось состоянием покоя. В состоянии покоя параметры на срезе канала получались из решения задачи о распаде граничного разрыва независимо от способа расчета условий затекания. Это способствовало «рассасыванию» возникавших в приграничных ячейках за счет накопления вычислительной погрешности нефизичных малых градиентов давления и обеспечивало вычислительную устойчивость. Отметим, что граничные условия первого и второго типов, кроме обычных требований аппроксимации и устойчивости, должны удовлетворять требованию консервативности алгоритма расчета параметров в канале и смежном сосуде в целом. Обеспечение консервативности расчета в этом смысле будет описано в параграфе 6.6.

Рассмотрим задание граничных условий для квазиодномерного течения бинарной газовой смеси, описываемого уравнениями (4.24)—(4.27) и рассчитываемого при помощи разностных схем (4.47)—(4.55).