Экстремальные задачи. 
Математика

Функции двух переменных как инструмент исследования находят применение в различных сферах человеческой деятельности при изучении явлений самой разной природы. Одна из важнейших проблем, встающих перед исследователями, заключается в установлении границ, в которых развивается изучаемый процесс. Иными словами, каков наивысший пик или самая глубокая впадина наблюдаемого процесса — физического, химического, экономического, а быть может, и политического (в свободе, но словам Фридриха Шеллинга, содержится «глубочайшая пропасть и высочайшее небо»). Если этот процесс описывается функцией, то вопрос сводится к определению наибольшего и наименьшего из ее возможных значений, которые становятся важнейшими качественными и числовыми характеристиками данного процесса. В основе математического ответа на поставленный вопрос лежит следующее.

Определение 9.7. Говорят, что функция 2 = /(х, у) в точке Р (х_{, у_{) имеет максимум или минимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек Р (х, у) этой окрестности выполняется условие /(х, у) < f (x_u у_{) при максимуме или/(х, у) >/(x_t, у_х) при минимуме.

Для обозначения максимума и минимума употребляется общий термин — экстремум.

Теорема 9.1 (необходимое условие экстремума).

Если в точке Р_х(х_х, yi) функция z = f (x, у) имеет экстремум и существуют частные производные, то обе они в этой точке обращаются в нуль:

Доказательство. В окрестности точки Р_х(х_х, у_{) выделим точки Р (х_у у_х). Тогда в соответствующей линейной (параллельной оси Ох) окрестности этой точки данная функция, рассматриваемая как функция одного аргумента х, также имеет экстремум того же наименования и ее производная в стационарной точке Р (х_х, у_{) равна нулю (см. гл. 7). На языке функции двух аргументов это означает, что в данной точке частная производная по х равна нулю.

Аналогично можно показать, что частная производная по у в этой точке также равна нулю.

Геометрический смысл этой теоремы раскроется, если сочетать ее с уравнением касательной плоскости:

Поскольку в точке экстремума.

= 0,.

то правая.

дх ду

часть исчезает и уравнение принимает вид: Z = z_t, показывающий, что касательная плоскость параллельна плоскости хОу и соответствующая точка поверхности является наивысшей (в случае максимума) или наинизшей (в случае минимума) по отношению к близким точкам (рис. 9.11, а, б).

Таким образом, «подозреваемыми на экстремум» являются внутренние точки области определения, в которых обе частные производные равны нулю. Они называются стационарными точками функции 2 =/(х, у).

Для формулировки достаточных условий экстремума применяются частные производные второго порядка, вычисленные в стационарной точке.

Обозначим:

Рис. 9.11.

Теорема 9.2 (достаточные условия существования или отсутствия экстремума).

Если D > 0, то в стационарной точке Р (х_и г/,) функция /(х, у) имеет экстремум — при А > 0 минимум, а при А < О максимум. Если D < 0, то экстремума нет. Случай D = 0 — сомнительный, он требует дополнительного исследования.

Опуская доказательство, которое приводится в более подробных руководствах по математическому анализу, проиллюстрируем утверждения этой теоремы примерами.

Пример 9.3.

Стационарная точка 0(0; 0). Дальнейшие вычисления:

показывают, что в стационарной точке имеется минимум, равный нулю. Этот результат соответствует графику функции — круговому параболоиду (см. рис. 9.8).

Так как D = - 4 < 0, то по теореме 2 заключаем, что в стационарной точке экстремума нет. Поверхность, служащая графиком этой функции, имеет форму седла, она называется гиперболическим параболоидом (рис. 9.12).

Рис. 9.12.

До сих пор речь шла об исследовании экстремума в стационарных точках. Но встречаются и «подозрительные на экстремум» точки другой природы, а именно такие, в которых частные производные бесконечны или вовсе не существуют, вкупе со стационарными точками они образуют множество критических точек функции.

Пример 9.6.

Вычислив частные производные и приравняв их нулю.

убеждаемся в том, что ни в одной точке они одновременно в нуль не обращаются. Это означает, что у этой функции стационарных точек нет. Но есть критическая точка 0(0; 0), в которой частные производные не существуют. Поскольку при х = у = 0 функция равна нулю, а во всех остальных точках плоскости ее значения положительные, заключаем, что в критической точке она имеет минимум. Графиком этой функции служит круговой конус, представленный на рис. 9.9. Точка экстремума — вершина конуса. Касательная плоскость в этой точке не существует.

Приведенные примеры объединяет то (случайное) обстоятельство, что всякий раз критическая точка совпадает с началом координат. Разумеется, в общем случае это необязательно. Кроме того, критических точек у функции может быть больше одной, тогда каждая из них требует отдельного изучения.