Алгоритм расчета системы двух связанных стержней

Рассмотрим систему из двух стержней 1 и 3 с кусочно-постоянными сечениями и свойствами. Полагаем, что на стержне 1 есть выступ, в отверстие которого пропущен конец стержня 3. Стержни 1 и 3 могут быть стянуты гайкой 2. При этом стержень 1 сжимается, а стержень 2 растягивается. Система схематично изображена на рис. 5.11. Будем полагать, что х₂ — координата начала координат на стержне 3 в системе координат, связанной со стержнем 1, где х,-, i = 1, 3 — Лагранжевы координаты, отсчитанные вдоль стержней слева направо. Левые края стержней 1 и 3 жестко закреплены на общем основании. Координата I — продольная декартова координата, отсчитываемая от левого края стержня 1.

Рис. 5.11. Схема связки двух стержней:

• 1 — сжатый стержень; 2 — гайка; 3 — растянутый стержень
• 1-й этап. Расчет начального состояния

Пусть в начальный момент t = О, ДГ = 0, x_wx = О, F_x = 0, то есть система покоится и равномерно прогрета. Предполагается, что при этом стержни 2 и 3 не деформированы, а гайка 2 завинчена без натяга до упора в выступ стержня 1. При этом стержень 2 имеет длину L_b а стержень 3 — длину L₃ и выполняется равенство.

В дальнейшем осуществляется затяжка гайки 2 моментным ключом, при этом длина затянутой части стержня 3 в недеформированном состоянии уменьшается на ДL₃ и конец стержня 3 получает удлинение и₃ > О, а конец стержня 2 получает удлинение и_г < 0. Приравнивая координаты I стыка деформированных стержней 2 и 3 получим равенство.

или, после сокращения в силу (5.142),.

Удлинение Uj стержня 2 рассчитывается решением задачи 1 с граничным условием на правом конце, задаваемым моментом затяжки гайки 2. В соответствии с [28].

где F_k — усилие, сжимающее стержень 2 и растягивающее стержень 3; п — число резьбовых соединений в стыке; М_к — момент затяжки гайки; d — диаметр резьбы в м.

Для стержня 3 необходимо одновременно определить AL₃ и и₃ для заданного на правом конце растягивающего напряжения.

Это достигается решением последовательности задач 1 для стержня 3 следующим образом. Введем функцию

При AL₃ = 0 решение задач 1 для стержней 1 и 3 с граничными условиями (5.145), (5.146) соответственно приводит к значениям и₃ > О, и1 < 0, то есть F₃₁ > 0. Далее в цикле по i = 1, 2, …, 9 выбирается АЬУ = ;-0,1 -1₃ и определяется промежуток ALg^-15, ДЦ, такой, что F^l- -F₃j < 0, то есть выделяется диапазон искомого значения AL₃

Далее задача решается делением отрезка (5.148) пополам в сочетании с решением задач 1 для стержней 1 и 3 с граничными условиями (5.145), (5.146). При этом на шаге к выбирается та половина отрезка для AL₃, для которой выполняется условие F₃{¹? F₃₁ < 0. Критерием сходимости итераций служит условие.

Полученное в результате значение AL₃ есть длина хода гайки 2 при ее затяжке.

2-й этап. Определение равновесного положения стержней в текущий момент движения по траектории

При расчете движения головных частей РСЗО по траектории стержень 1 соответствует оболочке ГЧ, а стержень 3 — ее кассете. Полагаем, что в текущий момент движения по траектории распределение по длине стержней и_т, x_wx, F_x задано, а также известно распределение и_р в предшествующий момент времени, задаваемое накопленной к текущему моменту пластической деформацией. Расчет текущего напряженно-деформированного состояния проводится в следующем порядке.

Для стержней 1 и 3 решается задача 1 с нулевыми напряжениями на правых концах и определяются текущие длины стержней со свободными концами.

Возможны два случая. 1-й случай:

В этом случае между гайкой 2 и опорным кольцом оболочки (стержнем 1) образуется зазор

При этом рассчитанное напряженное состояние стержней реализуется и расчет заканчивается.

2-й случай:

В этом случае зазор

и равновесное положение состыкованных стержней 2 и 3 получается за счет дополнительного растяжения стержня 3 на и₃ > 0 и сжатия стержня I на uf > 0, причем.

Несостыкованные стержни в этом случае схематично изображены на рис. 5.12. Назовем левое положение стыка в зазоре положением 1, а правое — положением 2. Будем определять равновесное положение стыка в зазоре по величинам сил взаимодействия стержней F_lx, F_3x, то есть разыскивая такое перемещение конца стержня 3, при котором силы взаимодействия в стыке равны по модулю, то есть F^ + F_3x = 0.

Рис. 5.12. Несостыкованные стержни в случае отсутствия зазора в состыкованной системе

Очевидно, что.

Делаем это, сочетая деление отрезка (5.152) пополам с решением задачи 3 для стержней 1 и 3, то есть попутно определяя возможное приращение пластической деформации. Первые два шага алгоритма уже сделаны при расчете состояний свободных на правом конце стержней.

Действительно, при положении стыка в сечении 1 (см. рис. 5.11).

При положении стыка в сечении 2.

Так что интервал (5.152) действительно выделяет равновесное положение стержней.

Дальнейшее изложение проводим в предположении, что пластически деформироваться может только стержень 3, точнее — шейка (утонение) шпильки или болта узла фиксации. При этом в процессе решения задачи 3 для стержня 3 в положении 2 рассчитывается величина и3 — перемещение правого конца стержня 3, с которого начинается пластическая деформация стержня 3, при которой значение F_?jX сохраняет постоянное значение F%_x.

Если оказывается, что > и₃- 8, то равновесное положение стыка стержней будет достигаться без их дополнительной пластической деформации за счет упругой деформации. При этом задача завершается выполнением следующего алгоритма.

Алгоритм 1. Решается задача 3 для стержня 3 с перемещением U3 = 0,5 (и_3] + и₃₂), и задача 3 для стержня 1 с соответствующим в силу (5.144) перемещением uj = uf — AL₃. При этом определяется сумма.

^Flx + ^F3x-

Если выполняется критерий сходимости то расчет заканчивается. При этом необходимо.

В противном случае расчет повторяется.

При этом, если F^ + F_3x < 0, то полагается и₃₁ = 0,5(u₃₁ + и₃₂), а при Fix + F_3x > 0 полагается u₃₂ = 0,5(u₃₁ + и₃₂).

На этом алгоритм 1 заканчивается.

Если оказывается, что u₃ < и₃ — б, то равновесное положение стыка стержней может достигаться как без их дополнительной пластической деформации, так и при ее наличии. Для выяснения этого обстоятельства рассматривается сжатие свободного стержня 2 усилием F%_x = -F$_x, то есть решается задача 1 для стержня 2 с соответствующим напряжением на срезе, и определяется uf — перемещение правого конца стержня 2, соответствующее сжимающему усилию F^_x.

Если конец стержня 2 оказался левее положения конца стержня 3 с перемещением и₃, то равновесное положение стыка стержней будет находиться в области упругой деформации стержня 3 между сечениями li = Li + и[ и l₂ = Х₃ + L₃ — Д1₃ + и₃, где Д < 1₂. В этом случае равновесное положение стыка определяется переходом к алгоритму 1 с заданием u₃₁ = u[ + AL₃, u₃₂ = u₃.

Если конец стержня 2 оказался правее положения конца стержня 3 с перемещением и₃, то равновесное положение стыка стержней будет находиться в области пластической деформации стержня 3 и для завершения расчета необходимо решить задачу 3 для стержня 3 с перемещением конца.