Математические модели трудноформализуемых объектов

Название данного подраздела содержит незнакомый пока термин — трудноформааизуемый объект. Остановимся подробнее на этом понятии, что позволит нам обсудить некоторые важные моменты в математическом моделировании.

Уравнения, соответствующие рассмотренным в предыдущих подразделах простейшим моделям реальных систем и процессов, были записаны, исходя из интуитивных представлений на основе правдоподобных качественных соображений. Поэтому первый и основной вопрос, возникающий в связи с анализом этих моделей, — это вопрос об их адекватности, т. е. определенном соответствии системам, для описания свойств которых они используются. Будучи универсальной методологией научного исследования, математическое моделирование не подменяет собой физику, биологию, химию и другие науки, изучающие законы, управляющие рассматриваемыми реальными системами. Наоборот, основные уравнения моделей должны соответствовать, т. е. следовать из этих законов и, уж во всяком случае, не противоречить этим законам.

Например, при моделировании свойств сложных физических систем, подчиняющихся законам классической физики, уравнения модели должны соответствовать динамическим законам, определяющим поведение отдельных частиц рассматриваемой системы — законам Ньютона, или уравнениям Лагранжа и Гамильтона. В этом случае говорят о моделировании системы, обладающей определенной динамикой, или динамической системы. В этом смысле системы, модели которых были рассмотрены в предыдущих подразделах, не являются динамическими. Это означает, что не существуют (или, по крайней мере, они нам неизвестны) точные законы, определяющие поведение отдельных элементов системы — солдат в модели сражения Ланкастера, зайцев и лис в модели Лотки — Вольтерра и т. д. Такие системы и получили название трудноформализуемых систем. И хотя почти всегда очевидно, какие их характеристики должны подлежать определению из уравнений модели (численности армий, численности популяций биологических видов, количество произведенной продукции и т. д.), формулировка основных уравнений модели представляет собой самый важный и ответственный момент математического моделирования. Создание вербальной модели изучаемой системы, которая может быть предложена на основе определенных качественных соображений, жизненного опыта, эвристических принципов и т. д., и перевод этой вербальной модели на математический язык соответствует первому этапу математического моделирования, который предопределяет успех или неудачу всего мероприятия. Здесь очень важно четкое и аккуратное разграничение математических и житейских терминов, часто звучащих одинаково, но имеющих разный смысл, и осторожное применение математического аппарата.

Обычно модели трудноформализуемых систем оперируют с ясно выраженными «статистическими» величинами, между тем здесь оказывается невозможным пользоваться основными представлениями — идеями и методами статистической физики ввиду незнания функций распределения элементов рассматриваемых систем. Вполне законным является только использование методов математической статистики.

Незнание внутренней структуры и свойств отдельных элементов трудноформализуемых объектов, которые позволили бы строго вывести основные уравнения модели и обосновать ее адекватность рассматриваемой системе, определяет основное направление работы с математической моделью. Это направление заключается в исследовании чисто математических свойств основных уравнений модели и выявлении возможности использования в явном виде идей и методов математической статистики. Адекватность моделей, претендующих на описание поведения трудноформализуемых систем, устанавливается на пути сравнения предсказаний, сделанных на основе модели, с экспериментальными данными.

Развитие и детализация (или обобщение) модели для подобных систем также осуществляется на интуитивном уровне. Здесь мы приходим к понятию иерархичности математических моделей, заключающихся в последовательном отказе (или, наоборот, введении) от предположений, идеализирующих изучаемый объект. В одних случаях, как мы видели выше, такие изменения модели не вносят ничего принципиально нового в поведение системы, в других, наоборот, ее свойства меняются существенным образом. В качестве примера можно указать на свойства структурной устойчивости или неустойчивости моделей, рассмотренных в предыдущих подразделах.

Иерархическая цепочка моделей может строиться двумя различными способами — «от простого к сложному» или «от общего к частному». Первый путь дает возможность поэтапно изучать все более и более реалистичные модели и сравнивать их свойства. Именно этот путь обычно и используется при построении моделей трудноформализуемых систем. Во втором случае, опираясь на общую модель, можно, проводя соответствующие конкретизации, последовательно получать и изучать более простые модели. Такой путь часто используется при моделировании динамических систем, где известен или удается установить наиболее общий вид уравнения, описывающего свойства системы. Этот подход обладает тем преимуществом, что часто позволяет установить некоторые общие свойства системы, не зависящие от конкретных модельных представлений, а затем конкретизировать их в более частных случаях.

Построение иерархической цепочки моделей на пути «от простого к сложному» приводит к необходимости использовать все более и более сложный математический аппарат. Чтобы проиллюстрировать это обстоятельство, вернемся к модели Лотки—Вольтерра взаимодействия биологических видов. Как уже указывалось выше, учет пространственного распределения популяций приводит к замене обыкновенных дифференциальных уравнений на уравнения в частных производных. Сейчас мы рассмотрим усложнения, к которым приводит учет временного запаздывания между встречей хищника с жертвой и благоприятным для популяции хищников результатом такой встречи — появлением потомства.

Правдоподобные интуитивные соображения приводят в этом случае к следующей системе уравнений для системы «хищник — жертва»:

где F (t — т) — некоторая модельная функция со свойством F > О, а т — время задержки между моментом питания при поимке жертвы и временем появления потомства. Более общие соображения приводят к необходимости рассматривать еще более сложные системы уравнений.

Обсудим соображения, приводящие ко второму из уравнений системы (1). Предположим, что возрастное распределение хищников остается неизменным во времени. Далее, пусть выражение y (&d% дает значение отношения числа хищников в возрасте от? до? + к полному числу хищников. Тогда число хищников в момент времени Г, возраст которых не ниже некоторого значения 0, дается формулой.

где функция /(0), равная значению интеграла в (2), неотрицательна: / > 0.

Таким образом, среди полного числа y (t) хищников, существующих в момент времени г, имеется y (t)f (t-Q) хищников, которые существовали в предыдущий момент времени т. Тогда число жертв, съеденных хищниками в течение интервала времени (т, т + dx), которые существовали в каждый из моментов времени t и т, равно.

Теперь предположим, что съеденная пища приводит к увеличению числа хищников, т. е. к появлению потомства в количестве.

особей за промежуток времени dt. Если эти прибавления потомства происходят независимо друг от друга, то полное увеличение поголовья хищников в промежуток времени (/, t + dt) будет даваться выражением:

Составляя выражение для скорости dy/dt изменения численности популяции хищников, с учетом (5) приходим ко второму из уравнений (1).

При более сложных предположениях о характере взаимодействия «хищник—жертва», когда, например, учитывается еще и то, что хищник может самостоятельно охотиться только достигнув зрелости, система основных уравнений модели записывается в виде.

Система уравнений модели Лотки —Вольтерра при учете запаздывания может быть также записана в терминах дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Исследование такой модели требует более сложных математических методов. Оно показывает, что в модели возможны устойчивые ненулевые стационарные состояния.

Последующий анализ обобщенных моделей Лотки — Вол ьтерра показал, что кроме обычной стабильности системы необходимо ввести и учитывать еще одну характеристику — так называемую «выживаемость» системы, которая описывает способность системы сохранять внутренние структурные связи в случаях резких изменений численности популяций, вызванных внешними причинами — пожарами, эпидемиями и т. д.

Заканчивая обсуждение свойств моделей трудноформализуемых объектом, отметим еще одно обстоятельство, которое должно учитываться с самого начала при формулировке вербальной и математической моделей. Речь идет об учете реальной возможности измерений тех величин, которые фигурируют в уравнениях математической модели. Эти измерения не должны приводить к неконтролируемым изменениям рассматриваемых в модели величин и должны выполняться за промежуток времени, малый по сравнению с характерным временем изменения этих величин. Как правило, в рассматриваемых выше моделях эти условия не накладывают каких-либо существенных ограничений на выбор изучаемых характеристик системы. Например, с помощью современных методов можно достаточно быстро пересчитать численности изучаемых популяций биологических видов, не нарушая общей картины их существования и поведения. Однако, как мы увидим ниже, эта проблема оказывается весьма актуальной в случае моделирования поведения некоторых сложных динамических систем, особенно систем, состоящих из большого числа частиц. Оказывается, что учет этой проблемы определяет сам тип характеристик системы, который зависит от конкретных возможностей измерительных процедур, используемых при экспериментальном исследовании изучаемой системы.

Задачи и упражнения

• 1. Приведите примеры трудноформализуемых объектов и определите величины, в терминах которых должны формулироваться их модели.
• 2. Рассмотрите простую динамическую систему, например шарик определенной массы, подвешенный на жесткой пружине, и предложите иерархическую цепочку моделей, каждая из которых представляла бы собой или частный случай предыдущей модели, или ее определенное обобщение.
• 3. Конкретизируйте примеры действий, являющихся ключевыми при построении рассмотренных ранее математических моделей: идеализация исходного объекта, формулировка качественных предположений, использование аналогий, использование строгих математических методов, исследование нелинейных моделей.
• 4. Предложите способы измерения численности популяций взаимодействующих биологических видов, которые: а) приводили бы и б) нс приводили бы к неучитываемым в модели воздействиям на численность популяций.

Литература

: [14], [20].