Типовые примеры. 
Теория статистики

Пример 9.1. Имеются данные об урожайности пшеницы в Российской Федерации в хозяйствах всех категорий в центнерах с одного гектара убранной площади (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Данные для примера 9.1

Требуется:

• 1) рассчитать показатели динамики, характеризующие изменение урожайности пшеницы от года к году, по сравнению с 2000 г. и в целом за период 2000—2010 гг.;
• 2) выявить тенденцию изменения урожайности пшеницы, используя методы укрупненных интервалов, скользящей средней, аналитического выравнивания;
• 3) определить доверительные интервалы прогноза урожайности пшеницы на 2011 г.

Решение

1. Для оценки изменения уровней ряда от года к году рассчитаем цепные показатели, по сравнению с 2000 г. — базисные показатели, используя формулы абсолютного изменения A = y_i-y_i__t; темпа роста Т = -^-*100% и темпа прироста.

Уы

Г_пр = к • 100 -100 = Т -100%. Результаты расчетов представлены в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Результаты расчетов для примера 9.1

Отрицательные значения абсолютного изменения и темпа прироста, а также значения темпа роста меньше 100% говорят о снижении уровня по сравнению со сравниваемым; соответственно, положительные значения абсолютного изменения и темпа прироста и значения темпа роста больше 100% говорят об увеличении уровня динамического ряда. Например, в 2009 г. урожайность пшеницы снизилась на 1,3 ц/га, или на 5,31%, по сравнению с 2008 г., но это значение превысило уровень 2000 г. на 7,1 ц/га, или на 44,1%. С 2000 по 2010 г. урожайность пшеницы в Российской Федерации изменялась, снижения произошли в 2003, 2005, 2009 и 2010 гг.; в сравнении с уровнем 2000 г. на протяжении всех 10 лет наблюдалось увеличение урожайности, хотя снижение уровня 2010 г. значительно сократило это увеличение.

Для характеристики изменения в целом за 11 лет рассчитаем средние показатели.

Среднегодовой уровень.

Средний абсолютный прирост.

Средний коэффициент роста.

Средний темп прироста.

Таким образом, средняя урожайность пшеницы в РФ за 2000—2010 гг. составила 20,09 ц с 1 га убранной площади, за этот период происходило среднегодовое увеличение урожайности на 0,3 ц/га, или на 1,71%.

2. Сглаживание по трехлетней средней представлено в табл. 9.3.

Таблица 9.3

Сглаживание по трехлетней средней

Ряд состоит из 11 уровней. Первые три средние рассчитаны по трем годам, а последняя — за 2009 и 2010 гг. По полученным средним не удается определить тенденцию изменения урожайности пшеницы.

Сглаживание по трехлетней скользящей средней представлено в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Сглаживание, но трехлетней скользящей средней.

Представим графическое изображение исходного и выравненного динамических рядов (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Графическое изображение исходного и выравненного по скользящей средней динамических рядов

По последовательным трехлетиям рассчитанные средние показывают направленность к увеличению урожайности, несмотря на некоторое снижение в 2003—2004 и 2009 гг.

Аналитическое выравнивание по уравнению прямой: у = a + btj.

Для расчета параметров уравнения прямой (табл. 9.5) обозначим за начало отсчета 2005 г., тогда до этого года номера лет будут иметь отрицательные значения, а после — положительные. Сумма номеров лет в таком случае равна нулю, поэтому параметры уравнения могут быть рассчитаны упрощенным способом:

Таблица 95.

Параметры уравнения прямой.

Тогда уравнение прямой таково: у_; = 20,1 + 0,4-/. Свободный член уравнения, равный 20,1 ц/га, дает представление о средней урожайности пшеницы за 11 лет; ее среднегодовой прирост за этот период составил 0,4 ц/га.

Примечание. Расчет параметров уравнения производится методом наименьших квадратов путем решения системы уравнений. Система уравнений для определения параметров прямой имеет вид.

где tj — последовательно обозначенные временные интервалы. Если началом отсчета выбран центр ряда, то? б⁼0 и система упрощается.

3. Дадим прогноз на основе полученной модели на 2011 г. Для этого подставим в уравнение прямой значение t = 6: $ 2oi 1 ⁼ 20,1 + 0,4 • 6 = 22,5 ц/га.

Определим среднеквадратическое отклонение:

С учетом полученного среднеквадратического отклонения прогнозируемый диапазон будет выглядеть гак: 22,5−2,1 < #2011 — 22,5 + 2,1, т. е. 20,4 < #₂он — 24,6.

Для получения достаточно надежных границ прогноза положения тренда зададим вероятность прогноза 95% (тогда уровень значимости а = 0,05; число степеней свободы сос тавляет 11 -2 = 9):

По таблице Стыодента находим табличное значение^{-критерия} — 2,262. Тогда предельная ошибка составит Д₂о11 =²⁰¹¹ = 2,262−1,358 = 3,07 = 3,1.

С вероятностью 95% можно утверждать, что урожайность пшеницы в РФ в 2011 г. должна была составить значение из диапазона: 19,4.