Классификация задач. 
Психология мышления. 
Решение задач и проблем

Существует огромное количество видов интеллектуальных задач. Небольшая их часть опубликована в школьных учебниках или сборниках задач по математике, физике, химии, русскому языку, собраниях головоломок, руководствах по лечению простудных заболеваний, вождению автомобиля или выживанию в экстремальных условиях. Есть целые отрасли знания (например, преподавание математики в школе или шахматная композиция), которые коллекционируют задачи и даже специализируются на составлении проблемных ситуаций с заранее заданными свойствами^[1]. Но подавляющее большинство задач существует только в «устной» или «наглядной» форме и является неотъемлемой частью бытовой, личной, профессиональной и т. д. жизни человека. Примерами здесь могут служить самые разные проблемные ситуации: от того, как приготовить винегрет без соленых огурцов, до того, как справиться с волнением перед трудным экзаменом.

Д. Пойа писал, что классификация задач может оказаться полезной для решателя, поскольку хорошая классификация предполагает разделение задач таким образом, что сам класс, к которому отнесена проблемная ситуация, предопределяет метод ее решения (Д. Пойа, 1976). К сожалению, систем такого уровня пока не создано. Существует достаточно большое количество, скорее, описательных способов разбиения задач на группы. Попробуем хотя бы пунктирно очертить возможные подвиды задач.

Они могут отличаться по содержанию, сложности, степени обобщенности или неопределенности условий, количеству усилий, необходимых для решения и т. д. Но перечисленные критерии при всей их несомненности очень связаны с интеллектуальными, личностными, профессиональными и т. д. особенностями решателя. Поэтому обычно используют более независимые параметры (см. работы А. М. Матюшкина (1969; 1972) и У. Рейтмана (1968), в значительной степени посвященные классификации задач. Большинство предложенных в них критериев наряду с другими обсуждается ниже).

Поскольку различных критериев, равно как и самих классификаций, существует достаточно много, мы сгруппировали их, опираясь на рис. 1.2. Итак, задачи могут отличаться друг от друга следующими параметрами.

I. Содержанием требования.

1. Существует много примеров проблемных ситуаций данного класса. Скажем, задачи на нахождение и на доказательство (Д. Пойа, 1976) или задачи на преобразование, на систематизацию, на выведение структуры и на оценку дедуктивных аргументов [J. Greeno, 1978].

Первое различение сформулировано Д. Пойа на математическом материале. Целью задач на нахождение является построение, получение, обнаружение и т. п. некоторого объекта, который и есть искомое данной задачи. Например: найти способ разрезать произвольный треугольник в два приема на три такие части, чтобы из них можно было составить прямоугольник. Целью задач на доказательство выступает установление правильности или ложности некоторого утверждения. Например: докажите, что число 585 858 делится на 7 [С. Коваль, 1972].

Дж. Грино предпринял попытку внести в классификацию большее количество требований: задачи на преобразование представляют собой четкое описание наличного и целевого состояний и предполагают нахождение последовательности операций, переводящих первое во второе; задачи на систематизацию включают в себя массу разрозненного материала, структурирование и систематизация которого и обеспечивает достижение цели; задачи на выведение структуры предполагают нахождение общего принципа с опорой на конкретные случаи, которые даны в условии; задачи на оценку дедуктивных аргументов, наоборот, направлены на применение общих положений к конкретным примерам.

В других областях возможны и другие типы требований (особенно это касается практических задач (см. ниже)), число разновидностей которых очень велико.

II. Организацией и полнотой условий.

2. Подлинные задачи и задачи-описания [Л. М. Фридман, 2001].

Подлинная задача сформулирована на языке той области знаний, средствами которой она может быть решена. В любом другом случае мы имеем задачу-описание. Хрестоматийная текстовая задача про два поезда, которые движутся навстречу друг другу со скоростями хиуиз пунктов, А и В, — типичное описание. А вот уравнение, которое связывает между собой соответствующие переменные, — подлинная задача.

3. Задачи с полными, неполными или избыточными условиями.

По количеству информации (ее полноты и избыточности для нахождения искомого) задачи могут быть разделены на четыре группы:

а) с полным набором необходимых условий (это значит, что решатель получает всю необходимую и достаточную информацию); б) с нехваткой некоторых из них; в) с наличием всех необходимых и некоторых избыточных условий; г) недостатком части необходимых условий, но с присутствием избыточных [П. Я. Гальперин, 1966]. Приведем пример четвертого типа задач: «В книжный магазин привезли детские книги „Властелин колец“ Дж. Толкиена с портретом автора и главных героев на обложке и „Янки из Коннектикута при дворе короля Артура“ М. Твена в твердом переплете. В первый день продали все книги на общую сумму 4500 руб. На сколько стоимость всех привезенных в магазин книг Дж. Толкиена больше, чем всех книг М. Твена?».

Кроме того, существует особый вид задач, формулировка которых заведомо неполна и не позволяет сделать однозначные выводы. Это сближает их с задачами подгруппы (б). Однако их условия являются неорганизованными (не ранжированными) по значимости относительно будущего решения. Требование таких задач состоит в том, чтобы собрать необходимую информацию и понять последовательность и смысл происшедших событий. Но сделать это можно, только выделив основные условия. К этой разновидности относятся загадки-ситуации (иногда их называют «да-нетки»). Например: «В поле лежит человек, за спиной мешок. Человек мертв. Что произошло?». (Ответ и психологический анализ см. в гл. 4).

• 4. Правильно и неправильно поставленные задачи [Л. М. Фридман,
• 2001].

Правильно поставленная задача отличается несколькими важными свойствами: все указанные в задаче отношения определены для тех элементов (предметов), для которых эти отношения заданы в условии, и все утверждения, составляющие условия задачи, являются истинными. Неправильно поставленными в этой связи оказываются следующие типы задач: а) те, в которых заданы неопределенные элементы или отношения между ними (к примеру: в четырехугольнике все медианы равны. Доказать, что этот четырехугольник — квадрат. (Понятие «медианы четырехугольника» в геометрии не определено) (Л. М. Фридман));

б) те, в которых имеются ложные утверждения (например: укажите общие черты авторского стиля стихосложения в поэмах А. С. Пушкина «Полтава» и «Мцыри». (Поэма «Мцыри» написана М. Ю. Лермонтовым)).

III. Параметрами цели.

5. Открытые и закрытые задачи [J. Р. Guilford, 1967; У. Рейтман, 1968].

Открытыми называют задачи, имеющие большое (в пределе — бесконечное) количество правильных решений. Закрытыми — задачи, подразумевающие фиксированное количество верных ответов, чаще всего, один-единственный. Примером первого типа может служить задача справиться с предэкзаменационным волнением. Ведь существует очень большое число индивидуальных приемов борьбы с тревогой (имеются в виду только «правильные», т. е. действенные способы). Любимый пример открытой задачи У. Рейтмана — написание фуги. Типичная закрытая задача — текстовая задача по алгебре, имеющая однозначный правильный ответ.

6. Хорошо определенные и плохо определенные задачи [М. Минский, 1967; Д. Пойа, 1976; A. Newell, J. С. Shaw, Н. A. Simon, 1957].

Хорошо определенными являются задачи, для которых четко сформулированы способы проверки правильности или применимости полученных решений, т. е. набор приемов и критериев, с помощью которых можно однозначно сказать, является ли полученный ответ верным. Для плохо определенных задач, напротив, такие критерии отсутствуют или вообще не могут быть выработаны. Примером хорошо определенной задачи является квадратное уравнение, плохо определенной — изготовление вкусного салата, пирога или супа, в общем, любого блюда.

7. Теоретические и практические задачи [Б. М. Теплов, 1945].

Различение теоретических и практических задач (и соответствующих им типов мышления (см. п. 1.5)) открыло новую страницу в изучении мышления. Стало ясно, что особенности теоретического мышления, которое направлено на закономерное объяснение и предсказание явлений, не являются универсальными. Существуют совершенно другие задачи — практические, суть которых — реализация, внедрение в жизнь каких-то замыслов и идей в конкретных условиях. Разница между этими двумя видами задач очень велика. Скажем, условия теоретической задачи объявляются истинными, а все предметы, о которых там идет речь, существующими. И то, и другое не подлежит проверке^[2]. Попробовать, конечно, можно, но это будет уже другая задача. Условия практической задачи значительно хуже определены и могут подвергаться сомнению и перепроверке. Более того, часто именно в этом и состоит основное направление действий. При этом решение такой задачи всегда разворачивается в условиях реальной нехватки ресурсов и противодействия. Как только возможность определить, какой тип задачи решается, исчезает или ставится под сомнение (это достигается специальной организацией условий эксперимента), испытуемые склонны даже явно теоретические задачи решать «практическим» образом [Р. Л. Солсо, 1996].

Примером теоретической задачи может служить теорема Пифагора: «Докажите, что в прямоугольном треугольнике АВС со сторонами а, Ь, с справедливо уравнение: с² = а² + Ь²». Или другой пример: «Объясните, почему при нагревании при постоянном давлении объем газа увеличивается». А образцом практической задачи служит гордиев узел: легендарный узел из города Гордий, который никто не мог развязать, и который был разрублен Александром Македонским, что дало ему в соответствии с предсказанием власть над всей Азией. В задаче, конечно же, требовалось развязать узел, но в практических задачах часто находятся побочные решения.

IV. Наличием средств.

8. Творческие и репродуктивные задачи.

Этот критерий имеет смысл только относительно конкретного решателя, т. е. можно говорить о творческих или репродуктивных задачах только по отношению к конкретной ситуации и человеку или группе людей (даже если это все человечество), которые столкнулись с проблемной ситуацией. Суть противопоставления заключается в том, что для репродуктивных задач у решателя есть готовые средства или способы решения, и они ведут к успеху. А в случае творческих задач такие средства либо вообще отсутствуют, либо по каким-то причинам не могут быть использованы для решения «здесь и теперь». Таким образом, творческая задача — это не синоним сложной или нетрадиционной задачи, а наименование той, которую кто-то не знает, как решать (именно для него она творческая). Учитывая все сказанное, привести конкретные примеры здесь достаточно трудно.

9. Решаемые и нерешаемые задачи.

Решаемая задача соответственно имеет какое-то решение. В противоположном случае дело обстоит сложнее. Нерешаемые задачи бывают двух видов: формальные и реальные. Формально нерешаемые задачи отличаются противоречивой формулировкой (одни условия в ней несовместимы с другими). Они граничат, с неправильно поставленными задачами. Например: «В магазин привезли 100 кг яблок по 30 руб. за 1 кг и 150 кг груш по 40 руб. за 1 кг. Всего привезли 300 кг фруктов. Сколько стоят все привезенные фрукты?» (Л. М. Фридман). Правда, проверка совместимости условий часто связана с большими трудностями из-за наличия неявных ограничений. Приведем характерный пример: «Рабочий кружок, состоящий из 20 взрослых и подростков, устроил сбор денег на покупку книг, причем каждый взрослый внес по 3 руб., а каждый подросток по 1 руб. Сколько было в этом кружке взрослых и подростков, если всего было собрано 35 руб.?» (задача А. П. Киселева). Правильно составленное уравнение приводит к ответу 7,5 взрослых. Такое решение задачи или анализ сочетания четных и нечетных чисел в условии позволяет обнаружить противоречие.

Реальные нерешаемые задачи — это недостижимые цели, т. е. цели, которые не могут быть достигнуты при заданных условиях. Они не имеют решения в полном смысле слова. Однако здесь нужны некоторые уточнения. Так, не ясно, является ли цель абсолютно недостижимой или она может быть достигнута при других условиях. Дело в том, что строго доказать нерешаемость задачи можно лишь в точных науках, да и то не всегда. Применительно к иным областям сделать это очень трудно. Классическим примером такого положения дел (взятым, кстати, из точных наук) до недавнего времени могла служить знаменитая теорема Ферма: «Доказать, что не существует натуральных чисел х, у, z таких, что xⁿ + yⁿ = zⁿ при п > 2». В течение нескольких сотен лет ее не удавалось ни доказать, ни подтвердить, что доказательства, в принципе, не существует.

Особняком стоят следующие классификации проблемных ситуаций.

10. Двигательные (действенные), графические (образные) и пропозициональные (вербальные) задачи [Дж. Брунер, 1977].

В соответствии с взглядами Дж. Брунера, существует три основные формы представления реальности человеком: действие, образ и знак (пропозиция). Следовательно, в рамках каждой из них мы можем ожидать существование особых мыслительных задач. Таким образом, по форме представления задачи человеку и способу ее решения можно различить двигательные, графические и пропозициональные задачи.

Двигательные задачи (иногда их называют задачами на «ручной интеллект») для своего решения предполагают непосредственное оперирование реальными предметами или их частями: завязать новый узел на галстуке, починить водопроводный кран без чертежа, уложить максимальное количество вещей в багажник автомобиля и т. д. Графические или образные задачи предполагают оперирование образами предметов или ситуаций: указать кратчайший путь от своего дома до ближайшей станции метро, собрать какое-либо изделие из деталей (скажем, детский стул) по чертежу, графически представить отношения между членами своей семьи и т. п. Пропозициональные задачи предполагают знаковое представление проблемной ситуации (обычно с применением средств какого-либо языка) и использование какого-то набора операций для ее решения. Приведенные выше образцы текстовых задач (теоремы Пифагора и Ферма, о книгах и фруктах, привезенных в магазин) могут служить хорошими примерами и здесь.

11. «Инсайтные» и «регулярные» задачи.

Эти два типа задач противопоставлены друг другу на основании характера обнаружения ответа. Инсайтные задачи предполагают наличие в процессе решения ключевого этапа (возможно, нескольких), в ходе которого скачкообразно (подобно «вспышке», «озарению») происходит понимание основных связей и отношений проблемной ситуации и формулируется ответ. В противоположном случае процесс решения последовательно приближает человека к цели с опорой на некоторые регулярные структуры, которые содержит задача. Это различение, начиная с работ гештальтпсихологов [М. Вертгеймер, 1987; К. Дункер, 1965], используется очень широко (см., например: [А. Ф. Эсаулов, 1972; А. М. Матюшкин, 1972; L. Е. Bourne Jr., В. R. Ekstrand, R. L. Dominowski, 1971; R. J. Sternberg, E. E. Smith, 1988]. Но при этом оно не является общепринятым. Авторы целого ряда исследований ставят под сомнение противопоставление этих двух видов задач (см.: [С. Л. Рубинштейн, 1958; А. В. Брушлинский, 1979; Р. Langley, Н. A. Simon, G. L. Bradshow,.

J. М. Zytkow, 1987; R. W. Weisberg, 1995]). Подробнее об этой дискуссии см. подп. 2.3.1.

12. Предзаданные и формулируемые по ходу решения задачи.

Эти виды задач различаются по источникам «возникновения» в структуре решения. В традиционной ситуации человек получает задачу в готовом виде, т. е. уже имеющую более или менее четкую формулировку. Вследствие этого создатели задачи имеют возможность сделать ее максимально качественной с точки зрения описания условий и постановки требований, предъявляемых решателю. Обычно набор условий в этом случае отличается необходимостью и достаточностью. В более сложной ситуации человек вынужден сам формулировать для себя задачу (обычно даже не одну, а несколько) по ходу преодоления иного типа затруднений, которые именуются проблемами. Понятно, что качество задач во втором случае оказывается более низким. Особенно это касается полноты и непротиворечивости условий и критериев оценки правильности полученного результата. Такие задачи — переход к разговору о проблемах.

• [1] Скажем, самая распространенная шахматная задача — «двухходовка», в которой"белые начинают и дают мат в два хода", устроена так, что мат в указанное количествоходов при правильной игре белых действительно получается во всех возможных вариантах.
• [2] Это одно из самых явных следствий мышления в научных понятиях [Л. С. Выготский, 1982; П. Тульвисте, 1988].