Интерполяция и аппроксимация функции

Под интерполяцией и аппроксимацией понимается способ нахождения промежуточных значений фиксируемой физической величины Y по имеющемуся дискретному набору известных значений, полученных в результате эксперимента (табл. 17) [28].

Таблица 17.

Вид таблицы экспериментальных данных

При этом во многих случаях аналитическое выражение функции у = /(х) не известно и получить его по таблице ее значений (табл. 17) в большинстве случаев невозможно.

Интерполяцию и аппроксимацию функций применяют в случае, когда требуется найти значение величины у при значении аргумента х, принадлежащего интервалу [х₀,…, х_п], но не совпадающего по значению ни с одним значением (табл. 17).

Задача интерполяции или аппроксимации функций часто встречается при ограниченности возможностей проведения эксперимента, в частности из-за дороговизны и трудоемкости, при которых размер выборки (х₀, х, х₂,…, х_п) может быть достаточно мал.

Решение задачи интерполяции и аппроксимации сводится к нахождению приближенной функции (полинома), которая позволит определять значения величины у при любом значении фактора х.

Интерполяция

При интерполяции находят вид полинома Р_п(х), который имеет ту же таблицу значений, что и гипотетическая функция /(х), т. е.

где / = 0, 1, 2, …, п.

Нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки х₀, х, х₂, …, х_п -узлами интерполяции (см. рис. 22).

Существует множество видов интерполирующего полинома. Рассмотрим ряд из них, а именно канонический полином, линейный, интерполяционные полиномы Ньютона и Лагранжа.

Канонический полином

Вид канонического полинома степени п:

Выбор многочлена степени п основан на том факте, что через точку n + 1 проходит единственная кривая степени п. Подставив (104) в (103), получим систему линейных алгебраических уравнений:

Коэффициенты интерполяционного полинома а₀, а_{, а₂, …, а_п находятся при решении полученной системы уравнений.

Линейная интерполяция

Линейная интерполяция — простейший и часто используемый вид интерполяции. При линейной интерполяции заданные точки с координатами Хр у_{ (см. табл. 17) соединяются прямолинейными отрезками, а функция у (х) представляется в виде ломаной (см. рис. 23).

Для каждого из интервалов в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. Так, для /-го интервала с координатами точек (х^, у₍_j) и (х_г-, у_;) уравнение прямой примет вид:

Из (97) получим

При линейной интерполяции сначала определяется номер интервала /, в который попадает значение аргумента х, затем по формулам (107) находятся требуемые значения приближенной функции.

Пример

По экспериментальным данным (табл. 18) найти значение функции при х- и я: = 3,2. Решение проиллюстрировать графически.

Таблица 18.

Экспериментальные данные

Решение

1. Точка х = 1 принадлежит первому локальному отрезку [0, 2], т. е. г = 1 и, следовательно, по вышеприведенным формулам (1,2):

Точка х-3,2 принадлежит третьему интервалу [3,3,5], т. е. / = 3 и, следовательно, по формулам (1,2):

2. По данным табл. 18 строим график (рис. 23).

Рис. 23. Графическое решение поставленной задачи