Введение в теорию игр

В качестве неконтролируемых факторов могут выступать другие активные участники операции. В этом случае можно сделать предположения об их принципах поведения. Ситуацию, в которой сталкиваются интересы нескольких участников, принято называть конфликтной.

Конфликт — операция, в которой участвуют несколько сторон, преследующих свои интересы и обладающих определенными возможностями действия.

Теория игр — раздел теории исследования операций, занимающийся математическими моделями принятия оптимальных решений в условиях конфликтов.

Участники игры — игроки.

В антагонистических играх игроки действуют друг против друга.

В некоторых играх игроки объединяются в коалиции действия. В ряде задач выделяют коалиции интересов.

Если в игре коалиции вообще недопустимы, то игра называется бескоалиционной.

Численная оценка каждого исхода игры, т. е. критерий эффективности, называется в теории игр функцией выигрыша.

Тройка Г =, где X и Y — множества, H — функция от двух переменных x и у, называется антагонистической игрой.

Если множества X и Y конечны, то тройка Г = называется конечной антагонистической игрой. Множества X и Y называются множествами стратегий, а их элементы х и у — чистыми стратегиями игрока 1 и 2 соответственно.

Функция Н = Н (х, у) — функция выигрыша игрока 1 в ситуации (х, у), когда первый игрок выбирает стратегию х, второй игрок выбирает стратегию у. В этом случае пара (х, у) образует ситуацию в чистых стратегиях.

Процесс разыгрывания конечной антагонистической игры состоит в том, что игроки 1 и 2 независимо друг от друга выбирают соответственно некоторым чистым стратегиям х и у, в результате чего складывается ситуация (х, у). После чего игрок 1 получает выигрыш Н (х, у), игрок 2 столько же проигрывает. Поэтому величину Н (х, у) называют также проигрышем игрока 2. Понятие выигрыша и проигрыша чисто условны, так как величина Н (х, у) может быть отрицательной.

Считая, в силу антагонистичности игры Г, выигрыш игрока 2 равным величине его проигрыша с обратным знаком, функциюН (х, у) называют функцией выигрыша игрока 2.

Поскольку число возможных действий каждого из игроков конечно, то значения функции Н естественно представить в виде матрицы с элементами H (i, j), в i-ой строке которой последовательно расположены выигрыши игрока i в с…

Решение.

Оптимальную стратегию (X*, Y*, Z*) определяем в результате решения неравенств.

a (xi-X + yi-Y + Zi-Z) > U (i = 1, 2, 3).

X + Y + Z = N,.

где U — цена игры, а — себестоимость единицы любого изделия.

Очевидно, что фирма, выбрав выпуск изделий в количестве X, Y, Z, получит при любой ситуации на рынке прибыль не менее U. Решение неравенств (14.18) позволяет определить оптимальную стратегию:

_х*- ^wr ^V2 ^— w2 * ^u2.

Ur V2 — U2 * V1,.

Z* = N — X* - Y*.

где U1 = X1 + Z3 — Z1 — X3, U2 = У1 + Z3 — Z1 — уз,.

V1 = X2 + Z3 — Z2 — X3, V2 = У2 + Z3 — Z2 — Уз,.

W1 = N^(Z3 — Z1), W2 = N^(Z3 — Z2).

Тогда обеспеченная прибыль от реализации изделий равна:

U* = (xi-X* + y^Y* + ZiZ*)a.

Для любого i = 1, 2, 3.

Пусть планируется выпуск N = 10 000 изделий трех видов в количестве X, Y и Z соответственно. Рентабельность по каждому виду в зависимости от ситуации на рынке равна х₁ = 0,1; х₂ = 0,2; х₃ = 0,3; у₁ = 0,2; у₂ = 0,3; у₃ = 0,1; Z₁ = 0,3; Z₂ = 0,1; Z₃ = 0,2. В результате решения системы (4.18) получаем, что оптимальная стратегия соответствует следующим значениям: Х* = 3333; Y* = 5000; Z* = 1667 изделиям.

Г арантированная прибыль при любой ситуации на рынке равна: U = 1833 a (ден. един.).

Приложение 1.

Таблица I.

Таблица значений функции ф (дс)==.

X ¦
0,0.	0,0.	00Э99.
од.							6 356.
0,2.
0,3.
0,4.
0,5.
0,6.
0,7.
0,8.
0,9.
1.0.
1.1.									38J00.
1.2.
1.3.
1.4.
1.3.
1.6.
1.7.
1.8.
1,9.
2,0.
2,1.
2,2.
2,3.								4911!
2,4.
2,5.
2,6.					ч9585.
2,7.
2,8.
2,9.
3,0.	0,49 865.	3,1.		3,2.		3,3.		3,4.
3.5 4.0 4.5 5.0	49 977. 499 968 499 997 49 999 997.	3,6.		3,7.		3,8.		3,9.	.