Нулевые и ненулевые начальные условия

Если к началу переходного процесса непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, то в схеме имеют место нулевые начальные условия. Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальные условия.

При нулевых начальных условиях токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели непосредственно до коммутации.

Составление уравнений для свободных токов и напряжений

Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произвольно выбирают для них положительные направления, затем составляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Так, для схемы на рис. 8.5 после выбора положительных направлений для токов имеем:

Рис. 8.5.

В этих уравнениях i_1} i₂ и i₃ — полные токи. Каждый из них состоит из свободного и принужденного токов. Для того чтобы от этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, «освободим» систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС Е) и вместо запишем ?_1св, вместо i₂— i_2cB и т. д. В результате получим:

Заметим, что для любого контура любой электрической цепи сумма падений напряжений от свободных составляющих токов равна нулю.

Алгебраизация системы уравнений для свободных токов

В параграфе 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (уравнения без правой части). Как известно из курса математики, решение однородного дифференциального уравнения записывают в виде показательных функций АеР^[. Таким образом, уравнение для каждого свободного тока можно представить в виде i_CB = АеР¹.

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя. Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов ветвей.

Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена единым (общим) переходным процессом.

Составим производную от свободного тока:

Следовательно, производную от свободного тока можно заменить на р?_св, а свободное напряжение на индуктивном элементе на Lpi_CB.

dt

Найдем интеграл от свободного тока:

Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых. Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить на i_CB/p, а свободное напряжение на конденсаторе — J i_CBdt — на ?_св/(Ср).

В систему дифференциальных уравнений для свободных токов подставим Lpi_r" вместо и вместо — f i_ndt. Следовательно,.

^FcB dt Ср С^]св

Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно ?_1св, i_2cB, ?_3св и, в отличие от исходной системы, не содержат производных и интегралов.

Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов. Можно сказать, что система (8.8) есть результат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (8.7).