Фильтры чебышева. 
Медицинская электроника: основы биотелеметрии

Частотные характеристики. Формулы типа (7.27), описывающие частотные характеристики фильтра Баттерворта, по своей структуре являются, вообще говоря, довольно универсальными. Достаточно заменить в них полином Баттерворта на какой-либо другой подходящий полином (или дробь), как будет получен новый тип фильтра. Например, если вместо полинома 5″,(Х1) использовать так называемый полином Чебышева, формулы (7.27) примут вид.

где Г_ш(?2) — полином Чебышева степени (порядка) т; е — коэффициент неравномерности, определяемый (7.20) или (7.21).

Фильтры с частотными характеристиками (7.28) называются фильтрами Чебышева. Ниже приведены шесть первых полиномов Чебышева:

Любой полином Чебышева при т > 2 может быть вычислен по реккурентной формуле Т_т(?2) = 2?27_m_,(?2) — Т_т_₂(0). Таким образом, выражения (7.28) удовлетворяют общим выражениям (7.15)—(7.17) характеристик полиномиальных фильтров.

Существует единая тригонометрическая форма записи полиномов Чебышева в интервале -1 < ?2 < 1:

Действительно, Г₀(?2) = cosOarceosQ = 1; 7) (?2) = coslarccosQ = ?2; Г₂(?2) = - cos2arccos?2 = 2cos²arccos ?2 — 1 = 2?2² — 1.

Вне интервала -1 < ?2 < 1 полиномы Г_ш(?2) также представляюгся в тригонометрической форме:

Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интервале -1 < < ?2 < 1 угол 0 = arccos?2 изменяется от -п (при ?2 = -1) до 0 (при ?2=1), поэтому полином Т_т(?2) = cos т@ ровно т раз принимает значения, равные нулю, и т + 1 раз достигает значений, равных +1 или -1 и чередующихся друг с другом. Вне интервала -1 < ?2 < 1 полином 7]_п(?2) согласно формуле (7.30в) монотонно возрастает. В качестве примера на рис. 7.33, а изображен график полинома Чебышева 7'₄(?2), т.с. полинома четвертого порядка.

В соответствии с (7.28) рабочее ослабление A_p(Q) фильтра Чебышева на тех частотах, где полином Г",(?2) обращается в нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых Г_т(?2) равен ±1, рабочее ослабление достигает величины.

С ростом значений полинома Г_ш(?2) на частотах ?2 > 1 рабочее ослабление Ч_р(?2) также монотонно растет. На рис. 7.33, б приведен график рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка.

Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания.

На рис. 7.34 показаны частотные зависимости квадрата АЧХ фильтра Чебышева для различных значений т, полученные для |#_р(/?2)|² из (7.28). Подобные зависимости могут быть построены для рабочего ослабления фильтра.

Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе непропускания, необходимо выбрать порядок фильтра т из условия /У_р(Д2)|^_^ < < _e-2A_pmin Дд_{Я полосы} непропускания T_ni(D.) определяется формулой (7.30в), следовательно, 1 + е² ch²m х arch Q, > e~^2Av^min. Отсюда.

Рис. 7.33.

Далее.

В этой формуле величина А_рт1П измеряется в неперах. При использовании единицы децибел порядок фильтра вычисляется из выражения.

Рис. 7.35.

Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются полиномами наилучшего приближения. Это означает, что при одинаковом значении т из всех полиномиальных фильтров, ослабления которых в полосе пропускания не превышают А_ртях, наибольшие значения ослабления в полосе непропускания имеет фильтр Чебышева. В частности, рабочее ослабление фильтра Чебышева в полосе непропускания может превышать (и весьма значительно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных значениях т и А _х. Однако характеристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный характер и легче поддается корректированию для устранения искажений передаваемых сигналов.

Выбор типа полиномиальных фильтров определяется конкретными условиями их применения в биотелеметрии.

В заключение отметим, что для полиномиальных фильтров в справочниках составлены весьма полные таблицы полюсов и коэффициентов передаточных функций для различных величин А_ртах и т. Порядок же фильтров т определяется по специальным графикам, исходя из заданных величин А_ртах, А О •.

^pmin'.

Активные RC-фильтры. Они представляют собой комбинацию пассивной RC-цепи и активного элемента. В качестве активного элемента чаще всего используются операционные усилители с двумя входами: инвертирующим и неинвертирующим^[1].

Реализация передаточных функций фильтров на активных /?С-цспях осуществляется следующим образом. Заданную функцию Н_р(р) порядка т разбивают на произведение передаточных функций не выше второго порядка, т.с. Н_р(р) = Н_р, (р)Н_р2(р)…Н_рк(р). Каждую передаточную функцию H_pi(p) рсализуют в виде ЛДС-звена первого или второго порядка. Схему Д/?С-фильтра получают путем каскадного соединения звеньев.

В практике проектирования активных RC-фильтров используется большое число схем, реализующих передаточные функции первого и второго порядка. Один из способов построения таких схем показан на рис. 7.35, а. Пассивная часть схемы представлена в виде цепи из элементов R и С. Между зажимами 2 и 3 включен операционный усилитель, в котором использован инвертирующий вход. Примером ARC-цепи является схема, приведенная на рис. 7.35, б. Передаточная функция этой активной ДС-цепи может быть получена любым из методов теории цепей и имеет вид:

Для реализации в виде такой цепи полиномиального фильтрового звена второго порядка с передаточной функцией.

нужно выбрать проводимости К, У₃ и К₄ активными: G, (7₃ и G₄, а проводимости Y₂ и Y_s — емкостными: рС₂ и рС₅. Тогда (7.30) запишется в следующей форме:

Сопоставление коэффициентов при р в соответствующих степенях и свободных членов из (7.32), выраженных через элементы фильтра, с заданными числовыми значениями коэффициентов при р и свободных членов из (7.31) позволяет определить значения элементов фильтра.

• [1] Идеальный операционный усилитель представляет собой ИНУН с бесконечно большим коэффициентом усиления (Ни —> и бесконечно большими входным сопротивлением и выходной проводимостью (выходное сопротивление равно нулю).