Применение метода эквивалентного генератора

Расчет нелинейных цепей переменного тока иногда осуществляют, используя метод эквивалентного генератора (МЭГ). Рассмотрим применение этого метода к цепи с управляемым нелинейным элементом.

На рис. 15.49, а изображена схема, состоящая из источника синусоидальной ЭДС Е, двух резисторов R и управляемой индуктивности (УИ), семейство ВАХ которой по первым гармоникам изображено на рис. 15.49, б. Ток управления /₀ является параметром на этом семействе. Ток через УИ обозначен I. В соответствии с МЭГ разомкнем ветвь, по которой течет ток I, и определим напряжение U_{ab х} = Ё / 2 в режиме холостого хода. Определим входное сопротивление Z_BX в цепи переменного тока относительно зажимов а и Ъ. В соответствии с рис. 15.49, в оно равно R/2. На рис. 15.49, г показана эквивалентная схема цепи, а на рис. 15.49, д изображена векторная диаграмма для этой цепи. Геометрическая сумма вектора /Я / 2 и напряжения на нелинейной индуктивности U_L равна Ё /2. Так как Е/2 является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны U_L и IR/2, то по теореме Пифагора

Рис. 15.49.

Поделив обе части (15.86) на (Е/2)², получим уравнение эллипса:

Одна полуось эллипса равна E/R, другая — Е/2. Нанесем эллипс на семейство ВАХ индуктивности (см. рис. 15.49, б). По точкам пересечения эллипса с ВАХ можно определить ток I и напряжение U_L на индуктивности при любом значении управляющего тока /₀.

При рассмотрении характеристик управляемой индуктивности (см. параграф 15.24), феррорезонансных схем (см. параграфы 15.57—15.63) индуктивность полагали идеализированной, а именно не учитывали потери в ее сердечнике, наличие потока рассеяния и падение напряжения в резистивном сопротивлении обмотки. Это делалось с той целью, чтобы основные свойства упомянутых схем и устройств не были завуалированы относительно второстепенными факторами.

Векторная диаграмма нелинейной индуктивности с учетом потока рассеяния и резистивного сопротивления обмотки.

Нелинейная индуктивность изображена на рис. 15.50, а. Резистивное сопротивление обмотки w_l обозначим R.

Рис. 15.50.

Проходящий по обмотке ток создает в сердечнике магнитный поток. Большая часть этого потока (поток Ф_ш) замыкается по сердечнику, а меньшая часть (поток Ф₅) — по воздуху. Поток Ф_т называют основным, а Ф₅ — потоком рассеяния.

Обычно поток Ф₅ составляет всего несколько процентов от потока Ф_т. Однако могут быть и такие режимы работы, в которых поток Ф₅ оказывается соизмеримым с потоком Ф_т. Такие режимы имеют место, если сердечник работает при большом насыщении или когда в сердечнике имеется относительно большой воздушный зазор 5.

При построении векторной диаграммы заменим в действительности несинусоидальный ток и несинусоидальный поток эквивалентными синусоидальными величинами.

Отношение потокосцепления рассеяния |/_s = и/₁Ф₅ к току 7 называют индуктивностью рассеяния:

Индуктивное сопротивление X_s = соL_s называют индуктивным сопротивлением рассеяния.

Схема замещения нелинейной индуктивности изображена на рис. 15.50, б. Она отличается от схемы на рис. 15.3, а тем, что в ней добавлено сопротивление^. В неразветвленной части схемы включены резистивное сопротивление R обмотки w₁ и индуктивное сопротивление рассеяния X_s.

На участке сЪ есть две ветви. Правую ветвь образует идеализированная нелинейная индуктивность, по которой проходит намагничивающий ток 7_Ц. Левую ветвь образует активное сопротивление R_c, потери в котором равны потерям Р_с на гистерезис и на вихревые токи в сердечнике нелинейной индуктивности. По левой ветви течет ток.

На рис. 15.50, в изображена векторная диаграмма нелинейной индуктивности в соответствии со схемой на рис. 15.50, б. Эта векторная диаграмма строится так же, как и для обычных линейных схем.

Начнем ее построение с потока Ф_т.

Потоки Ф_т и Ф₅ пронизывают обмотку w_l (см. рис. 15.50, а) и наводят в ней ЭДС самоиндукции.

Напряжение й_сЬ на зажимах идеализированной нелинейной индуктивности равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, возникающей в обмотке w_l схемы на рис. 15.50, а под действием основного потока Ф_т:

Деление Ф_т на V2 объясняется переходом от амплитудного значения потока к действующему. Напряжение й_сЬ на 90° опережает поток Ф_т.

Ток — это ток через идеализированную нелинейную индуктивность, в сердечнике которой нет потерь энергии; он на 90° отстает от напряжения й_сЬ и по фазе совпадает с потоком Ф_т. Ток 7_С совпадает по фазе с напряжением й_сЪ. Определение токов 7_Й и 7_С рассмотрено в параграфах 15.67 и 15.68.

По первому закону Кирхгофа,.

Напряжение U_ab на входе схемы равно геометрической сумме напряжения й_сЬ, падения напряжения /В в резистивном сопротивлении и падения напряжения jix_s в индуктивном сопротивлении рассеяния.

Токи 7_Ц и 1_С не пропорциональны напряжению U_bc, а следовательно, и напряжению U_ab на входе схемы, т. е. если напряжение U_ab увеличить, например, в 1,3 раза, то токи 7_Ц и 1_С увеличатся не в 1,3 раза, а в большее число раз.

При построении векторной диаграммы исходили из того, что напряжение U_m известно. По напряжению U_cb определили токи и 1_С и затем нашли напряжение U_ab на входных зажимах индуктивности.

Обычно известно напряжение U_ab, а напряжение U_cb неизвестно. Поэтому при построении векторной диаграммы при заданном U_ab сначала следует разобраться, может ли напряжение U_cb в исследуемом режиме работы схемы значительно отличаться от напряжения U_ab.

Если падения напряжения в сопротивлениях R иХ, малы по сравнению с U_ab, например 3—8% U_ab, то можно в первом приближении считать, что U_cb ~ U_ab. Если же падения напряжения в сопротивлениях R и X_s соизмеримы с напряжением U_ab, то для расчета напряжения U_cb необходимо построить векторные диаграммы для нескольких значений, например равных 1; 0,9; 0,8; 0,7 от U_ab, для каждого из этих значений находят U_ch, по полученным результатам строят вспомогательную кривую U_cb =f (U_ab), по которой определяют U_cb при заданном U_ab, и затем строят искомую векторную диаграмму.