Лекция 11 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМОВ

Основы метода симметричных составляющих

Несимметричные переходные процессы в электрических системах ограничены условием, что несимметрия возникает только в одной точке системы, а остальная ее часть остается симметричной. Такая однократная несимметрия может быть поперечной (любой вид несимметричного короткого замыкания) и продольной (обрыв одной или двух фаз). При исследовании трехфазных симметричных схем исходят из предположения, что эквивалентную схему короткозамкнутой цепи можно представить в однолинейном изображении и вести расчет для одной фазы, поскольку явления, происходящие в двух других фазах, аналогичны.

При появлении несимметрии в сети нарушается симметрия токов в фазах, фазных и линейных напряжений, падений напряжения в элементах схемы и других электрических величин. Поэтому при несимметричных режимах нельзя ограничиться расчетом только одной фазы. Если исходить из обычного метода расчета, то для определения искомых токов и напряжений потребовалось бы составить схему замещения для всех трех фаз рассматриваемой сети и записать уравнения Кирхгофа для множества контуров и узлов, образовавшихся в рассматриваемой несимметричной системе. Решение их с учетом взаимоиндукции между фазами даже в случае относительно простой схемы является сложной задачей и требует больших затрат труда и времени.

С целью упрощения расчетов несимметричных режимов в трехфазной сети используется метод симметричных составляющих, сущность которого состоит в том, что любую несимметричную систему векторов токов и напряжений можно представить в виде трех симметричных систем. Метод симметричных составляющих базируется на теории многофазных электрических систем при неодинаковых условиях работы фаз. Математическое обоснование метода было разработано К. Фортескью (1918), а затем Р. Эванс и К. Вагнер (1933) применили его для решения задач, возникающих при анализе несимметричных коротких замыканий. Активную роль во внедрении метода в расчетную практику сыграли работы Н. Н. Щедрина (1933), П. С. Жданова (1945), С. А. Ульянова (1952).

Исходя из физической картины явления в электрических сетях, используют три симметричные системы: прямой, обратной и нулевой последовательностей. Система прямой последовательности (рис. 11.1, а) состоит из трех одинаковых векторов, сдвинутых относительно друг друга на угол 120° и чередующихся в такой же последовательности, как и основная симметричная система (А_х, В_х, С_х). Система обратной последовательности (рис. 11.1, б) также состоит из трех одинаковых векторов, сдвинутых относительно друг друга на угол 120°, но чередование их противоположно основной системе (А₂, В₂, С₂). Система нулевой последовательности (рис. 11.1, в) состоит из трех одинаковых векторов, совпадающих по фазе (Ад, В₀, С₀).

Рис. 11.1. Симметричные системы векторов прямой (а), обратной (б) и нулевой (в)последовательностей Для каждой из этих систем явления в фазах подобны, что позволяет воспользоваться однолинейными схемами для каждой последовательности и расчет вести для одной фазы. Такая фаза находится в условиях, отличающихся от условий двух других фаз, и называется особой. В этом одно из главных достоинств метода симметричных составляющих.

Любой из векторов симметричной трехфазной системы можно представить одноименным вектором другой фазы с помощью оператора поворота

который является вектором, модуль которого равен единице, а аргумент — 120°. Умножение любого вектора на оператор а равносильно повороту этого вектора на угол 120° в положительном направлении вращения векторов (против часовой стрелки).

Умножение на а² соответствует повороту исходного вектора на 240° в том же направлении или на 120° в противоположном:

При практических расчетах часто требуются сведения о следующих величинах:

В симметричной трехфазной системе прямой последовательности (см. рис. 11.1, а) каждый из векторов можно представить как.

В системе обратной последовательности (см. рис. 11.1, б).

В системе нулевой последовательности (см. рис. 11.1, в)

Поскольку суммы векторов и прямой, и обратной последовательностей равны нулю, эти системы (на основании формул (11.3)—(11.5)) являются уравновешенными:

Система нулевой последовательности состоит из трех одинаковых векторов, совпадающих по направлению (см. рис. 11.1, в). Эта система симметрична, но не уравновешена:

По составляющим прямой, обратной и нулевой последовательности можно восстановить исходную несимметричную систему:

Если принять за особую фазу А, то с учетом формул (11.1)—(11.6) и рис. 11.1 систему уравнений (11.9) можно записать как.

Уравнения (11.10) позволяют выделить из несимметричной системы симметричные составляющие. В результате их совместного решения составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей будут выражены через векторы фазных величин следующим образом:

Пример 11.1.

Для заданной на рис. 11.2 исходной несимметричной системы векторов А, В, С определить составляющие векторов прямой А₁₍ обратной А₂ и нулевой А₀ последовательности.

Рис. 11.2. Несимметричная система векторов к примеру 11.1.

Решение. В соответствии с соотношениями (11.11) и заданным положением векторов на рис. 11.2 проводим разложение несимметричной трехфазной системы на симметричные составляющие (рис. 11.3, а). По найденным симметричным составляющим фазы, А восстанавливаем симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей (рис. 11.3, б).

Рис. 11.3. Графический метод определения симметричных составляющих:

а — для анализа несимметричных режимов; б — симметричные составляющие несимметричной системы По найденным в примере 11.1 симметричным составляющим (см. рис. 11.3, а) восстановить исходную несимметричную систему векторов.

Решение. В соответствии с соотношениями (11.9) и симметричными составляющими, полученными при решении примера 11.1, восстанавливаем исходную несимметричную систему (рис. 11.4).

Рис. 71.4. Восстановление исходной несимметричной системы.