Частотные преобразования. 
Теоретические основы электротехники. 
Том 1. Электрические цепи

Классификация частотных преобразований

Известны два основных направления частотных преобразований электрических цепей. Первое направление объединяет преобразования, которые позволяют от некоторой исходной схемы (схемы прототипа) — частотные свойства которой изучены — путем преобразования частоты перейти к некоторой другой (преобразованной) схеме с новыми элементами и с новыми частотными свойствами, сравнительно легко получаемыми из частотных свойств исходной схемы. В первую группу входят частотные преобразования первого и второго рода, нашедшие широкое применение. Второе направление основано на преобразовании Брутона. Оно состоит в том, что сопротивления всех элементов исходной схемы делят на комплексную частоту р. При этом элементы R, L, С исходной схемы заменяют на элементы С, R, D преобразованной схемы соответственно. Частотные свойства каждого элемента, естественно, изменяются, но частотные свойства всей схемы остаются без изменений. Преобразование позволяет избавиться от индуктивных элементов, элементов громоздких и с большой массой. Преобразование используют в теории фильтров.

Частотные преобразования первого рода

Их осуществляют, заменяя комплексную частоту р в исходной схеме на некоторую функцию комплексной частоты s.

Рассмотрим три примера. В первом из них заменим р на co₀/s, во вто;

ром — на к—, в третьем — на ———. Первое преобразование.

co₀s к^²+щ)

дает возможность перейти от схемы, хорошо пропускающей низкие частоты (например, от схемы на рис. П6.1, а), к схеме, хорошо пропускающей высокие частоты (рис. П6.1, б); ш₀ — некоторый масштабный множитель. Элементам и С_г схемы на рис. П6.1, а отвечают соответственно С₂ и L₂ схемы на рис. П6.1, б.

Для выявления связи L_l и С_г с С₂ и L₂ запишем сопротивление элемента Ь_г на частоте р, заменим в нем р на w₀/s и сопоставим его с сопротивлением элемента С₁ на частоте s. В результате получим pLj = o)₀L₁/s =.

= l/(sC₂), отсюда C₂ = l/CwoLj). Поступая аналогично по отношению kCjH L₂, имеем 1/(рС_г) = s/CcOgCj) = sL₂, следовательно, I₂= l/CwoCj).

Рис. П6.1

Передаточная функция преобразования схемы на рис. П6.1, б.

может быть получена из передаточной функции непреобразованной схемы на рис. П6.1, а

заменой р —> ш₀/s, L_l 1/(о)₀С₂), С_г l/(a)oL₂).

Из равенства K_2n(.s) = iC_lH(w₀/s) следует, что схемы на рис. П6.1, а, б имеют одинаковые частотные характеристики, только направление отсчета частоты по оси частот для преобразованной схемы на рис. П6.1, б противоположно направлению отсчета частоты для исходной схемы на рис. П6.1, а.

Если по оси частот на рис. П6.1, в частота ш_н для исходной схемы на рис. П6. 1, а (р = jсо_н) откладывается в равномерном масштабе и отсчитывается слева направо, то зависимость затухания или передаточной функции преобразованной схемы изображается той же кривой, что и для исходной схемы, только частота для преобразованной схемы ш_п (s = ;о)_п) по оси абсцисс откладывается в неравномерном масштабе со_п = a)₀/^WH (^эт0 следует из соотношения р = w₀/s или;ш_н = a)_o/0w_n) = -;о)₀/о)_п). Знак «минус» означает изменение направления отсчета частоты ш_п по сравнению с направлением отсчета частоты оо_н.

В качестве примера на рис. П6.1, в дана оцифровка по оси абсцисс для частот w_H и о)_п при оо₀ = 1.

Преобразование фильтра низких частот (ФНЧ) (рис. П6.2, а) в полосно-пропускаюший фильтр (ППФ) (рис. П6.2, б) осуществля;

ется заменой р на ф(s) = k-Положим, что параметры ФНЧ (I.

w₀s и С_н) известны, а также известны желаемая резонансная частота w_n (рис. П6.2, в) и полоса пропускания Aw ППФ. Частотная характеристика ФНЧ (рис. П6.2, г) может рассматриваться как частотная характеристика ППФ при правильной оцифровке по оси частот на рис. П6.2, г для этого фильтра и определения значений L_nl, С_п1, 1_п2 и С_п2 через 1_н, С_н, Aw и w₀.

Рис. П6.2

Индуктивному элементу L_H при переходе от схемы ФНЧ к схеме ППФ соответствуют последовательно соединенные L_nl и С_п1, а емкостному элементу С_н — параллельно соединенные 1_п2 и С_п2. Для того чтобы выявить соответствие между 1_п1, С_п1 и L_H, в выражении для сопротивления.

^2 о².

pL_H заменим р на к— и сопоставим полученную формулу с форму;

w₀s.

лой для последовательно соединенных L_nl и С_п1 на частоте s:

Из сопоставления следует, что L_nl = kL_H/co₀, С_п1 = 1/(/cWqL_h).

Поступая аналогичным образом для перехода от С_н к параллельно соединенным 1_п2 и С_п2, найдем.

Отсюда L_n2 = l/(fcw₀C_H), C_n2 = C_H/cw₀.

Для оцифровки оси абсцисс частотной характеристики преобразованной схемы следует выявить соответствие между частотами ш_н и а)_п.

_, S² + 0) п С этой целью в выражении р = к— следует заменить р на;со_н, a s

co₀s.

на j (o_n и решить полученное уравнение относительно со_п/ш₀:

Из (П6.1) следует, что оцифровка по оси ш_п/о)₀ неравномерна. Частоте со_н = 0 соответствует со_п/со₀ = 1. Два знака перед радикалом в (П6.1) указывают на то, что частотная характеристика ППФ имеет две ветви, одна из которых будет являться зеркальным отражением другой относительно вертикали, проведенной через точку а)_п/ш₀ = 1.

Придавая со_н отрицательные значения, получим повторение частотной характеристики преобразованной схемы в области отрицательных частот, т. е. при частотном преобразовании характеристика может оказаться повторенной. На рис. П6.2, г оцифрована ось оо_п/со₀ для полоснопропускающего фильтра при к = со₀/Дсо = 1.

Преобразование ФНЧ на рис. П6.3, а в полосно-задерживающий фильтр (заграждающий ПЗФ) (рис. П6.3, б) осуществляется заменой Дсо (S со₀ ^ CDnS «_т

комплексной частоты р на — — + —- =——^—— и заменой L_H

со₀ s J k (s² + wg).

на параллельно соединенные L_nl и С_п1, а С_н — на последовательно соединенные 1_п2 и С_п2. Под ш₀ понимают резонансную частоту, а под Дш — ширину полосы затухания (рис. П6.3, в), к = ш₀/До). Для определения значений L_nl, С_п1, 1_п2 и С_п2 через 1_Н, С_Н, к и ш₀ надлежит сопротивление г o)₀s.

pL_H заменить на ——^——1^ и сопоставить его с сопротивлением парал- k (s² +щ)

лельно соединенных 1_п1 и С_п1 на частоте 5:

Рис. Пб.З

Получим L_nl = L_H/(/cc%), С_п1 = fc/(WoL_H).

tt _T 1 s²+oj^.

Для нахождения L_n2 и С_п2 сопоставим сопротивление-=-;

рСн _г к ^н

с сопротивлением последовательно соединенных 1_п2 и С_п2 по частоте s:

Отсюда L_n2 = fc/(co₀C_H), С_п2 = C_H/(fcco₀).

С целью получения соответствия оцифровки по оси абсцисс на частотной характеристике ФНЧ с оцифровкой по оси абсцисс на той же частотной характеристике, но для ПЗФ, в формуле р = —^^о5 заменим р

k (s -г b) q).

на jw_H, a s на;со_п.

В результате получим уравнение.

Решим его относительно co_n/w₀:

Формула (П6.2) позволяет осуществить оцифровку оси абсцисс на частотной характеристике ФНЧ для ПЗФ.

В заключение рассмотрим свойства преобразования, при котором р заменяют на cp (s) = 1/(5 + а). В этом случае индуктивный элемент индуктивностью L заменяют на параллельное соединение конденсатора емкостью С = 1/L и резистора сопротивлением R = 1 /а, а конденсатор емкостью С — на последовательное соединение резистора сопротивлением R = а/С и индуктивного элемента индуктивностью L = 1/С.