Исследование устойчивости периодического движения в ламповом генераторе синусоидальных колебаний

Рассмотрим вопрос об исследовании устойчивости синусоидальных колебаний в ламповом генераторе (см. рис. 16.5). С этой целью воспользуемся формулами (16.25) и (16.30).

В соответствии с (16.30) производная от амплитуды колебаний.

В установившемся режиме работы амплитуду колебаний обозначим а₀. Для определения а₀ приравняем da/dt к нулю и решим уравнение 1−0,25а^ =0. Отсюда а₀ = 2.

В соответствии с параграфом 17.4 для исследования устойчивости периодического движения asincot в автоколебательной системе, на которую не воздействует внешняя периодическая сила частотой w, достаточно найти знак производной dA (a)/da при а = а₀. Если при этом dA (a)/da < 0, то процесс устойчив. В нашем случае.

Ранее (см. уравнение (16.27)) было выяснено, что а’М > RC и к₁ > 0, так как только в этом случае амплитуда колебаний представляет собой.

fdA (a))

вещественную величину. Следовательно, — <0 — процесс.

1 ^da л="₀

устойчив.

Исследование устойчивости работы электрических цепей, содержащих управляемые источники напряжения (тока) с учетом их неидеальности.

Прежде чем приступить к исследованию устойчивости той или иной схемы, надлежит проверить, нет ли в схеме ОУ, у которого имеется обратная связь с выхода на его положительный вход, а минусовой вход ОУ заземлен. Если она имеется, то и без подробного исследования можно сказать, что работа всей схемы окажется неустойчивой, и такую обратную связь в схеме надо устранить.

Поясним это на примере с помощью схемы на рис. 17.5. В ней обратная связь с выхода ОУ на плюс-вход его осуществлена через резистор R_b минусовой вход ОУ заземлен. Потенциалы незаземленных узлов обозначим ф_1? ф₂. Элемент Z (p) эквивалентирует всю остальную часть схемы. Полагаем, что входной ток схемы /_вх = 0. Между плюс-входом ОУ и землей имеется малая паразитная емкость С_п.

Рис. 17.5.

Токи 1_г и /₂ в схеме равны.

Потенциал ф₂ равен.

Подставим ф₂ в выражение 1₁ = 1₂и после небольших выкладок получим характеристическое уравнение относительно приращения Дфр

Положение равновесия рассматриваемого звена схемы неустойчиво, так как один из двух корней уравнения положителен. Возникшее приращение Aq) j будет нарастать до насыщения ОУ. Элемент схемы Zip) при малом выходном сопротивлении ОУ практически не влияет на устойчивость этого звена.

После проверки схемы на наличие обратной связи на положительный вход ОУ и устранения ее, если она имеется, можно приступить к исследованию устойчивости работы всей схемы. В случае многоконтурной обратной связи в схеме следует учитывать:

• 1) что управляющие напряжения или токи управляемых источников зависят от структуры схемы, комплексной частоты р и числовых значений элементов схемы;
• 2) что управляющая способность самих источников тока или напряжения зависит от р (например, для операционного усилителя и транзистора К = ^⁰ или К =-—-).
• 1 + рт 0- + рт₁)0-+рт₂)

Порядок исследования следующий.

• 1. Составляем схему замещения исследуемой цепи, указываем на ней внутренние сопротивления неуправляемых и управляемых источников и токи и напряжения, которыми они управляются. Учитываем выходные сопротивления управляемых источников.
• 2. Составляем выражения для управляющих токов и напряжений в функции потенциалов незаземленных узлов, параметров схемы и частоты р.
• 3. Учитываем зависимость К =/(р).
• 4. Составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов, подобно тому как это было в параграфе 15.33 (но до заменено на р).
• 5. Составляем главный определитель системы и приравниваем его к нулю.

Об устойчивости судим по характеру корней. Степень характеристического уравнения определяется числом энергоемких элементов, независимо накапливающих энергию, с учетом полюсов у каждого из имеющихся в схеме частотно-зависимых управляемых источников. Перечисленные условия минимальны.

В заключение обратим внимание на то, что исследование устойчивости периодических режимов в нелинейных цепях на частоте вынуждающей силы может быть проведено не только путем придания приращений Да и ДЬ амплитудам а и b синусной и косинусной компонент периодического режима, но и другим путем — путем исследования устойчивости периодического режима к малым скачкообразным возмущениям какой-либо определяющей работу схемы величины, например потокосцепления (/ нелинейной индуктивности или заряда нелинейного конденсатора q.

Естественно, что в этом случае все выкладки должны быть проведены по отношению к малому возмущению Дц или, соответственно, Aq. Такой путь исследования устойчивости периодических режимов является в ряде случаев предпочтительным, так как позволяет учесть влияние четных гармоник на устойчивость. Применительно к линейным цепям с периодически изменяющимися параметрами он рассмотрен в параграфе 18.6, а к исследованию устойчивости периодических режимов в нелинейных цепях — в параграфе 18.7. Вопросы устойчивости странных аттракторов различных типов в цепях с резистивным, индуктивным и емкостным нелинейными элементами рассмотрены в приложении П10 и в параграфе 15.72.