Энергия макросистемы. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Энергия Е любой системы зависит от ее микросостояния. Для дискретной системы эту зависимость можно представить в виде.

Пусть исследуемая система находится в макросостоянии а, описываемом функцией распределения W = W (t, X). Используя формулу (2.13), можно записать следующее выражение для среднего значения энергии системы в этом состоянии:

Внутреннюю энергию U макросистемы отождествляют со средним значением Е ее энергии, т. е.

Эту формулу более подробно можно записать следующим образом:

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц. В том случае, когда можно пренебречь энергией взаимодействия частиц, энергия Е многочастичной системы будет равна сумме энергий каждой из частиц.

в отдельности:

где d — энергия i-й частицы. В силу свойства среднего значения случайной величины среднее значение энергии системы невзаимодействующих частиц равно сумме средних значений энергий отдельных частиц:

Бели все частицы одинаковы, то их средние энергии равны друг другу:

где ё — среднее значение энергии € одной частицы. Поэтому внутренняя энергия системы невзаимодействующих частиц равна произведению средней энергии одной частицы на их число:

Статистический смысл энтропии. Формула Больцмана

Энтропию системы можно выразить через ее функцию распределения. Пусть система находится в произвольном неравновесном макроскопическом состоянии <�т (*), описываемом зависящей от времени функцией распределения W = W (t, X). В качестве определения энтропии в статистической физике используют формулу.

где к — положительная постоянная, называемая постоянной Больцмана (Людвиг Больцман (1844 — 1906) — австрийский физик-теоретик). В сокращенном виде эту формулу можно записать так:

Ниже будет показано, что определения энтропии в термодинамике и статистической физике эквивалентны.

Строго говоря, макроскопическое состояние в котором находится макросистема в данный момент времени t, описывается функцией W — W (t, X) распределения системы по микросостояниям. Однако такое описание является достаточно сложным для образного восприятия. Поэтому Больцман предложил более простое и наглядное (но менее строгое) определение макроскопического состояния. Согласно этому определению произвольному макроскопическому состоянию а системы соответствует конечное число Г (сг) различных ее микроскопических состояний а, в каждом из которых система может находиться с равной вероятностью W (a). При этом во всех других микросостояниях система находиться не может, т. е. для них вероятность равна нулю. Данное определение можно записать посредством формулы.

где X_Q — значение дискретной величины X, характеризующее микросостояние а. Эта формула задает упрощенную функцию распределения, описывающую макросостояние сг. Число Г (сг) микросостояний a G <�г называется статистическим весом, или термодинамической вероятностью макроскопического состояния а.

Для функции (2.28) условие нормировки (2.22) принимает вид.

Подстановка этой функции в формулу (2.27) приводит к выражению.

которое при помощи соотношения (2.29) можно записать гак:

Это — знаменитая формула Больцмана, раскрывающая статистический смысл энтропии.

Такие равнозначные понятия как случайность, хаос и беспорядок характеризуют собой любое макроскопическое состояние ст многочастичной системы. Термодинамическая вероятность Г (<�т) является самой простой количественной характеристикой макросостояния с. Она может служить мерой уровня беспорядка в системе, находящейся в данном макросостоянии а.

Полная определенность, т. е. отсутствие беспорядка, имеет место для системы, про которую достоверно известно, что она находится в каком-то одном определенном микросостоянии а. В этом случае число Г (<�г) микросостояний равно единице, а энтропия согласно формуле Больцмана равна нулю. Чем больше термодинамическая вероятность Г (сг) макросостояния (7, тем меньше информации о том, в каком именно микросостоянии находится исследуемая система, содержится в описывающей это макросостояние <�т функции распределения (2.28), т. е. тем больше беспорядка имеется в системе.

Согласно формуле Больцмана энтропия так же, как и термодинамическая вероятность, может служить мерой уровня беспорядка в системе: чем выше уровень беспорядка, тем больше энтропия. Теперь закон возрастания энтропии (1.13) можно сформулировать следующим образом. Неравновесный процесс в адиабатически изолированной системе протекает так, что беспорядок в ней все время увеличивается до тех пор, пока система не придет в состояние термодинамического равновесия. Отметим, что речь идет только об адиабатически изолированных системах. В открытых системах энтропия и беспорядок при определенных условиях могут уменьшаться именно благодаря обмену энергией и информацией с окружающими телами.