Эффект Холла. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Рассмотрим простой опыт, который дает возможность измерить концентрацию носителей тока в веществе и определить знак их электрического заряда. Речь идет об эффекте Холла (Эдвин Холл (1855 — 1938) — американский физик). Этот эффект заключается в том, что в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, появляется электрическое поле, силовые линии которого перпендикулярны линиям тока (рис. 10.19). При этом вольтметр показывает разность потенциалов между точками 1 и 2, которые расположены на прямой, перпендикулярной к сторонам проводника и к силовым линиям магнитного поля.

Рис. 10.19. Схема установки для измерения эффекта Холла.

Посмотрим, что происходит в проводящей пластине, вдоль которой течет электрический ток (рис. 10.20), когда ее помещают в магнитное поле. Электрический ток обусловлен действием на носители тока электрического поля. На рис. 10.20 вектор напряженности Е этого электрического поля направлен вдоль оси у и описывается формулой.

Рис. 10.20. К теории эффекта Холла.

Предположим, что в проводнике или полупроводнике имеются носители тока одного типа. Со стороны поля на носитель тока действует сила где q — заряд носителя тока. Эта сила вынуждает заряды двигаться вдоль силовых линий электрического поля с некоторой скоростью v. На рис. 10.20 изображен вектор скорости v для случая, когда носитель тока имеет положительный заряд (q > 0). При этом вектор плотности тока.

будет направлен в ту же сторону, что и векторы Е и v.

Если заряженная частица движется в магнитном поле, то на нее действует сила Лоренца где В индукция магнитного поля. Пусть вектор В индукции внешнего поля направлен перпендикулярно к линиям тока. Например, пусть он будет направлен вдоль оси х:

В гаком случае на частицу, движущуюся вдоль оси у со скоростью v, будет действовать магнитная сила F_M, отклоняющая ее вверх. Причем направление силы Лоренца не зависит от знака заряда частицы. Если частица имеет не положительный, а отрицательный заряд, то ее скорость v на рис. 10.20 будет направлена в противоположную сторону. Поэтому сила Лоренца (10.87) будет направлена в ту же сторону.

Итак, магнитная сила движет носители тока к верхней грани пластины. где образуется скопление зарядов, распределенных почти равномерно по поверхности. Одновременно на нижней грани возникает тонкий слой ионов с зарядами противоположного знака, обнажившихся в результате ухода от них подвижных заряженных частиц. Такое распределение зарядов напоминает распределение зарядов на обкладках плоского конденсатора. Эти заряды создают электрическое поле, вектор Е± напряженности которого направлен вдоль оси z. Движение носителей тока к верхней грани пластины прекратится, когда сумма действующих на них вдоль оси z сил станет равной нулю:

Из этого равенства при помощи формулы (10.87) найдем вектор Е± напряженности поперечного электрического поля:

Проекция этого вектора на ось z будет.

Существование поперечного электрического поля может быть обнаружено экспериментально. К точкам 1 и 2 на верхней и нижней гранях пластины подключают вольтметр. Эти точки выбирают так, чтобы потенциалы в них были одинаковы, когда магнитное поле отсутствует. После включения магнитного поля вольтметр покажет некоторое значение разности потенциалов &<�р (электродвижущая сила Холла). Это значение связано с напряженностью поперечного электрического поля соотношением

где h расстояние между верхней и нижней гранями пластины. Подстановка в эту формулу выражения (10.89) дает.

Из этой формулы видно: разность потенциалов Ду? имеет тот же знак, что и проекция вектора скорости на ось у, т. е. на направление тока. Для носителей тока, имеющих положительный заряд, скорость v_y > 0 и ЭДС Холла > 0. Для носителей тока с отрицательным зарядом v_y < 0 и Ау? < 0. Таким образом, знак разности потенциалов совпадает со знаком носителей тока в проводнике.

Согласно формуле (10.86) скорость v_y связана с плотностью тока соотношением

Плотность тока можно выразить через силу тока:

где S = fid — плотность поперечного сечения проводника, d — толщина пластины в направлении магнитного поля (рис. 10.20). При помощи этих соотношений формулу (10.90) можно преобразовать к виду.

В этой формуле все величины, кроме q и п, могут быть измерены непосредственно. И если известен заряд q носителя тока, то по этой формуле можно вычислить их концентрацию.

Формулу (10.91) обычно записывают так:

где.

— постоянная Холла.

Расчет ЭДС Холла становится более сложным в том случае, когда в полупроводнике имеются носители тока двух типов: электроны и дырки. Если полупроводник с током поместить в магнитное поле, то электроны и дырки начнут двигаться к верхней грани пластины (рис. 10.). На этой грани появятся поверхностные заряды. Одновременно у противоположной грани обнажатся ионы. Эти поверхностные заряды создадут в полупроводнике поперечное электрическое иоле. Со временем установится динамическое равновесие, т. е. поверхностные плотности зарядов и напряженность поперечного электрического поля примут некоторые постоянные значения. При этом плотность электрического тока вдоль оси г станет равна нулю:

Однако движение носителей тока вдоль силовых линий поперечного электрического поля, т. е. вдоль оси г, не прекратится. Электроны и дырки будут продолжать перемещаться к верхней грани пластины под действием сил Лоренца. Средние скорости v_e и vh электронов и дырок определяются напряженностями сил, действующих на эти частицы:

где ц_е и fih — подвижности электронов и дырок соответственно. Формулы (10.95) и (10.96) являются обобщением формул (10.54) на случай, когда частицы движутся не только в электрическом, но и в магнитном поле. Согласно формулам (10.53) скорости v_e и Vh частиц определяют плотность электрического тока в полупроводнике:

Проекция j_y вектора j плотности тока на ось у связана с силой тока /, текущего в полупроводнике вдоль силовых линий продольного электрического поля Е||, соотношением.

Можно показать, что формулы (10.94) — (10.98) приводят к выражению (10.92) для ЭДС Холла. В том случае, когда индукция магнитного поля не очень велика, для постоянной Холла справедливо следующее выра жение: