Теория Эйнштейна. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Атомы являются микроскопическими частицами, движение которых подчиняется законам квантовой механики. Если рассматривать атом в твердом теле как гармонический осциллятор, то следует принять во внимание, что энергия квантового гармонического осциллятора может принимать значения.

где и — частота колебаний, а колебательное квантовое число.

Найдем среднее значение энергии (11.7) квантового гармонического осциллятора, используя закон Гиббса, который определяет вероятность W" того, что находящаяся в термодинамическом равновесии система может оказаться в некоторый момент времени в микросостоянии с энергией.

Е_п:

где п — номер состояния. Постоянную Л находят из условия нормировки.

Среднее значение энергии определяется формулой.

Подставим в эту формулу выражение (11.7). С учетом условия нормировки получим:

Сумма в этом выражении равна сумме (4.42), которая была вычислена в разделе 4.10. Используя формулу (4.43), являющуюся результатом этих вычислений, придем к следующему выражению для средней энергии квантового гармонического осциллятора:

где х = huj/kT. Величину ^Ни в формулах (11.7) и (11.11) называют энергией нулевых колебаний.

При высоких температурах параметр х< 1 ив формуле (11.11) можно положить е^х ~ 1 + х. В результате получим.

т.е. при высоких температурах квантовая теория дает такое же выражение для средней энергии квантового гармонического осциллятора, что и классическая.

Если предположить, что все атомы кристалла совершают колебания с одной и той же частотой ы, то его внутренняя энергия будет.

По формуле (11.1) найдем теплоемкость кристалла:

При высоких температурах (кТ Ни) выражение (11.13) переходит в С — ZNк, т. е. приводит к закону Дюлонга и Пти. При низких температурах

Это выражение обращается в ноль при Т —? 0. Однако оно не согласуется с экспериментально установленной зависимостью (11.6). Таким образом, формула (11.13) только качественно описывает реальную зависимость теплоемкости кристаллической решетки от температуры.

Упругие волны

Колебания, совершаемые атомами твердого тела под влиянием упругих сил, действующих на них со стороны соседних атомов, называются упругими. Совокупность взаимосвязанных упругих колебаний, происходящих в различных точках твердого тела, есть волна, которая также называется упругой. В тех случаях, когда длины упругих волн существенно больше расстояний между атомами, кристалл можно рассматривать как однородную сплошную (непрерывную) среду, несмотря на то, что в действительности он состоит из отдельных атомов.

Рассмотрим плоские упругие волны, распространяющиеся в твердом теле в определенном направлении. Построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы направление оси х совпадало с этим направлением. Пусть исследуемое тело в целом покоится относительно выбранной системы координат. Когда атом находится в положении равновесия, сумма сил, с которыми на него действуют соседние атомы, равна нулю. Такие положения различных атомов тела называются узлами кристаллической решетки. Координаты произвольного узла решетки обозначим х_} у и г, а координаты атома в смещенном положении — х +?, у + г) и z-{-?. Вектор, проекции которого на оси координат равны ?, т] и (, называется вектором смещения атома из положения равновесия. Очевидно, что при движении атома его смещения ?, г] и ( будут изменяться с течением времени и для разных атомов могут принимать различные значения. Другими словами, эти величины в общем случае есть функции от времени и координат. Например,.

В том случае, когда упругая волна распространяется вдоль оси х, смещение ( будет зависеть от времени и только от одной координаты х:

Эта функция описывает смещения атомов из положений равновесия вдоль оси х, т. е. вдоль направления распространения волны. Поэтому упругая волна (11.14) называется продольной.

Функции.

описывают смешение атомов в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Такие упругие волны называются поперечными. Оказывается, продольные и поперечные волны распространяются в твердых телах с различными скоростями, которые будем обозначать нц и vi соответственно.

Функция (11.14), описывающая продольную волну, является решением волнового уравнения.

Это есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных, обшее решение которого можно представить в виде суммы гармонических волн различных частот и длин волн:

Рассмотрим одно из слагаемых в этой сумме:

Подстановка этой функции в уравнение (11.16) обращает его в тождество при условии, что частота ы' и волновое число к связаны соотношением.

которое называется дисперсионным соотношением.

Функции (11.15), описывающие поперечные упругие волны, являются решениями уравнения Монохроматическая волна.

будет решением волнового уравнения (11.19) при условии, что.

Таким образом, в одном и том же направлении могут распространяться три гармонические волны, характеризуемые одним волновым числом.

к. Одна из этих волн является продольной и имеет частоту о/, определяемую формулой (11.18), а две другие — поперечными с частотой и" согласно формуле (11.21).