Уравнения Максвелла. 
Основы радиоэлектроники

Теория электромагнитного поля основана на уравнениях Максвелла, которые он сформулировал в Трактате по электричеству и магнетизму, опубликованном в 1873 г.

При выводе уравнений для переменного электромагнитного поля Дж. К. Максвелл использовал известные уравнения статических электрического и магнитного полей (т.е. постоянных во времени) (см. приложение 1), дополнив их двумя идеями (см. приложение 2):

• 1) вокруг линий переменной во времени магнитной индукции В возникают замкнутые силовые линии напряженности электрического поля Ё;
• 2) вокруг линий переменного электрического поля возникают линии магнитной индуктивности, порождаемые током смещения /_см плотностью у_см:

Отсюда следует, что замкнутые линии вектора магнитной индукции В возникают не только вокруг вектора плотности тока проводимости (т.е. вокруг траектории движущихся электрических зарядов), но и вокруг силовых линий Ё, если Е меняется во времени.

Число уравнений Максвелла, представленных в Трактате, было приведено Г. Герцем и О. Хевисайдом к современному компактному виду. В настоящее время принята следующая запись уравнений Максвелла.

Дифференциальная форма Интегральная форма.

Здесь I — ток проводимости:

где в правой части — интеграл по замкнутой поверхности S от скалярного произведения векторов j и dS; Р₃ — плотность электрического заряда q:

Ротор вектора напряженности магнитного поля rot# (или электрического поляго^) — это вектор, который в декартовой системе координат может быть записан в виде определителя:

где Г Г Г — единичные векторы, направленные по осям х,

X у¹ Z

у, z; Н_х, Н_у, Н. — проекции вектора Н на оси координат.

Дивергенция вектора напряженности электрического поля diЁ (или магнитного поля div#) — это скалярная величина, вычисляемая в декартовой системе координат по формуле.

где Е_х, Е_у, E_z — проекции вектора Ё на соответствующие оси.

Геометрический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной форме следующий. Ротор вектора — это ось, вокруг которой закручиваются замкнутые линии соответствующего поля. Из первого уравнения Максвелла следует, что такой осью для магнитного поля являются линии плотности тока проводимости ]_п или линии напряженности электрического поля Ё, если Е меняется со временем.

Из второго уравнения Максвелла следует, что осью возникающих замкнутых линий электрического поля Ё являются силовые линии магнитного поля Я, при условии, что Я зависит от времени.

Дивергенция вектора — это точка в пространстве, откуда начинаются незамкнутые силовые линии поля. Из третьего уравнения Максвелла очевидно, что незамкнутые силовые линии напряженности электрического поля Ё начинаются в точках, где есть электрические заряды плотностью р._?. Из четвертого уравнения Максвелла следует, что незамкнутых линий напряженности магнитного поля не существует.

Решая уравнения Максвелла в^азличных средах, можем найти шесть проекций векторов Е и Я: E_x, E_y, E_z, H_x, H_y, H_z.