Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Дифференциальное уравнение энергии. Выведем дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в жидкости, при этом примем, что жидкость однородна и несжимаема.

Температурное поле потока жидкости описывается уравнением.

Выделим из движущейся среды элементарный параллелепипед объемом (IV = дхдуйг (рис. 8.3). Из окружающей среды путем теплопроводности в элементарный объем за время (к согласно (7.15) поступит теплота.

Аналогично изложенному в параграфе 7.4, теплота в количестве 8(2, поступившая в параллелепипед объемом (IV, должна пойти на повышение энтальпии среды (жидкости или газа) в объеме параллелепипеда. Однако в параграфе 7.4 речь шла о твердом теле, здесь же рассматривается текучая среда, и в связи с этим координаты х, у, г, определяющие положение в пространстве рассматриваемого параллелепипеда за время (к, претерпят соответствующее изменение, зависящее от размера и направления скорости в точке с координатами х, у, г.

Рис. 8.3. К выводу уравнения энергии.

Таким образом, уравнение температурного поля (8.3) должно быть дополнено группой уравнений:

Приращение температуры жидкости в параллелепипеде объемом (IV за время (1х, т. е. величина (д!/с)х)(1х, определяется из (8.3) с учетом (8.4). Полная производная от температуры по времени.

В силу зависимостей (8.4) имеем.

где ге>_х, хю_у, к>₂ — проекции вектора скорости т на координатные оси. Таким образом,.

Отметим, что производную ск/йх обычно обозначают ОЬ/йх и называют субстанциональной (индивидуальной по отношению к дифференциалу времени) производной. Частную производную д?/дт называют местным,или локальным, изменением значения величины ?, а сумму.

 — конвективным изменением.

Таким образом, изменение температуры жидкости в параллелепипеде объемом (IV за время (1х в общем случае вызвано двумя причинами: во-первых, изменением во времени самого температурного ноля в той точке пространства, где находится в данный момент рассматриваемый элементарный параллелепипед объемом (IV (скорость изменения его характеризуется локальной производной);

во-вторых, тем, что элементарный параллелепипед перемещается за время ?т в другую точку пространства (скорость изменения температуры характеризуется конвективной производной).

Изменение энтальпии среды в рассматриваемом параллелепипеде за время с1х представимо формулой.

Приравнивая значение 8(2 к значению <�И, получим искомое дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в движущейся жидкости:

или.

где а = /(с_рр) — температуропроводность.

Формула (8.6) в развернутой форме записывается так:

Для твердого тела (8.6а) переходит в известное уравнение теплопроводности (7.17).

Для одномерной задачи, когда ?=/ (х, т), выражение (8.6а) значительно упрощается:

и, наконец, в случае стационарного режима.

Уравнение (8.6а) показывает, что температурное поле в потоке существенным образом зависит от поля скоростей. В связи с этим при изучении конвективного теплообмена необходимо включать в круг исследуемых вопросов и гидромеханические условия протекания процесса.

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости. Вывод дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости основан на втором законе Ньютона.

Выделим из потока жидкости элементарный параллелепипед с ребрами, соответственно равными сЬс> (Iу и (1г (рис. 8.4). Объем параллелепипеда (IV = (1х (1ус1г, масса его равна р(IV, где р — плотность жидкости. Скорость в данной точке движущейся среды зависит от положения рассматриваемой точки в пространстве от времени, т. е. поле скоростей описывается уравнением.

Рис. 8.4. К выводу дифференциального уравнения движения.

Чтобы вывести дифференциальные уравнения движения жидкости, используем основной закон механики:

где  — векторная сумма всех сил, действующих на выделенный параллелепипед;  — полная (субстанциональная) производная от скорости.

В проекции на ось х уравнение (8.10) примет вид.

На рассматриваемый параллелепипед действуют три силы: сила тяжести (на рис. 8.4 не обозначена), давление р и сила вязкостного трения (на рис. 8.4 не обозначена). Ось х направлена, как это показано на рис. 8.4, вертикально вниз. Тогда проекция силы тяжести на ось х будет рgdV, где g — ускорение свободного падения.

Если в данной точке давление среды /?, то сила, действующая на верхнюю грань (см. рис. 8.4), равна рдудг, а сила, действующая на противоположную грань, равна.

Проекция на ось х равнодействующей сил давления будет.

где др/дх — проекция градиента давления на ось х.

Если пренебречь силами вязкостного трения, то согласно формуле (8.11) после сокращения на сIV получим уравнение движения жидкости в проекции на ось х:

Таким же образом получаются уравнения движения жидкости в проекциях на оси у и г:

(проекции силы тяжести pgdV на оси у иг равны нулю).

Уравнения (8.12)—(8.14) являются уравнениями движения идеальной, т. е. невязкой, жидкости и носят название уравнений Эйлера.

Для получения дифференциальных уравнений движения вязкой (реальной) жидкости необходимо учесть силы внутреннего (вязкостного) трения, иначе говоря, силы, обусловленные вязкостью жидкости. Согласно закону Ньютона, касательное напряжение 5, возникающее между перемещающимися с различной скоростью слоями жидкости (отношение силы трения к площади), пропорционально градиенту скорости:

где с1и)/(1п — градиент скорости, т. е. отношение изменения скорости к расстоянию по нормали п п — нормаль к направлению перемещения жидкости; |1 — динамическая вязкость.

Рассмотрим плоский ламинарный поток вязкой жидкости, в котором скорость меняется лишь в направлении оси у. Силы вязкостного трения вызывают в потоке жидкости касательные напряжения. В ламинарном потоке силы трения возникают только на боковых гранях элемента (рис. 8.5). Поскольку около левой грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе, сила трения направлена против движения и равна (-$с!хс12).

Около правой грани скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому сила трения направлена в сторону движения и равна

Рис. 8.5. Силы трения, действующие на элемент движущейся жидкости.

Равнодействующая этих сил.

Подставляя значение .$ из уравнения (8.15), получаем.

Полученное уравнение справедливо при одномерном движении. Если скорость изменяется по трем направлениям, то проекция на ось х равнодействующей сил вязкостного трения, приложенных к рассматриваемому параллелепипеду объемом (IV, определяется следующим выражением:

Если движущаяся среда имеет постоянную вязкость, получим где — оператор Лапласа.

Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье — Стокса) получим из выражений (8.12)—(8.14), если прибавим к их правым частям (к сумме объемных сил) величину рУ²да. Таким образом,

В развернутом виде дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости в проекции на ось х примет вид.

Аналогично записываются уравнения в проекции на оси у и 2.

Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности) выводится на основе закона сохранения массы. Выделим в потоке жидкости элементарный параллелепипед объемом (IV со сторонами с1х, с1у и (к и вычислим массовый расход жидкости через него за время ск (рис. 8.6).

Рис. 8.6. К выводу дифференциального уравнения сплошности

Введем понятие массовой скорости, кг/(м² • с), равной произведению плотности на скорость (рт&) и определяемой отношением массового расхода рУ к площади поперечного сечения/:

В направлении оси х в рассматриваемый параллелепипед за промежуток времени ск поступает жидкость массой т_х, равной произведению массовой скорости рш_х на поперечное сечение ?у(12 и на время ?/т:

Через противоположную грань параллелепипеда за время (к вытекает жидкость массой.

Изменение массы жидкости в элементарном параллелепипеде за время (к в направлении оси х составит

Аналогично запишем изменение массы жидкости за время dx в направлении осей у и z.

Формулу для полного изменения массы жидкости в рассматриваемом элементарном параллелепипеде объемом dV в направлении всех трех осей за время dx получим, суммируя (8.19)—(8.21):

Это изменение массы вызвано изменением плотности жидкости р в параллелепипеде объемом dV и равно изменению массы данного параллелепипеда во времени:

Произведя преобразования и сокращения в (8.23), окончательно получим дифференциальное уравнение сплошности:

Для несжимаемых жидкостей р = const и (8.24) примет вид.

Условия однозначности. Система дифференциальных уравнений (8.6), (8.17) и (8.24) дает математическое описание механизма конвективного теплообмена при движении вязкой жидкости. Эта система описывает целый класс явлений и имеет бесчисленное множество решений. Чтобы выделить из этого класса явлений данное конкретное явление, а следовательно, и столь же конкретное решение, необходимо дополнить систему уравнений условиями однозначности.

Условия однозначности должны содержать все специфические особенности, относящиеся к рассматриваемому случаю и влияющие на ход процесса. Понятно, что условия однозначности устанавливаются вне зависимости от самого механизма явлений, описываемого соответствующей системой дифференциальных уравнений, и применительно к конвективному теплообмену должны содержать:

• • геометрические условия, характеризующие форму и размеры поверхности, омываемой средой (например, круглая труба определенного диаметра);
• • временные условия, характеризующие точно известные особенности протекания процесса во времени (для стационарного режима временные условия исключаются);

• • граничные условия, которыми формулируются условия протекания процесса на границах тела;
• • физические условия, характеризующие те физические свойства среды и тела, которые входят в дифференциальные уравнения, описывающие процесс конвективного теплообмена, например теплопроводность X, динамическая вязкость р, плотность р.

Полученная система дифференциальных уравнений, дополненная условиями однозначности, как правило, не интегрируема без существенных упрощений, потому лишь некоторые решения, полученные после таких упрощений, могут быть использованы для расчета теплообмена в технических задачах. Большинство используемых уравнений подобия основывается на экспериментальных данных. Однако для возможности обобщения таких данных и выявления границ их применения экспериментальные исследования должны быть построены на строгих теоретических основах.

Такой теоретической базой современного эксперимента наряду с математической теорией планирования эксперимента является теория подобия. Как будет показано в следующем параграфе, теория подобия позволяет, не интегрируя выведенные выше дифференциальные уравнения, сделать на их основе ряд важных выводов, необходимых для научной обработки результатов экспериментальных исследований.