Изоклины. 
Особые точки. 
Построение фазовых траекторий

Тангенс угла наклона, образованного касательной к интегральной кривой в некоторой точке ФП и осью абсцисс, определяет значение dy/dx в этой точке. Совокупность точек ФП, для которых dy/dx = const, называют изоклиной. На ФП можно провести множество изоклин, каждой из которых соответствует свое значение dy/dx.

Для всех точек ФП, отражающей процессы в цепи второго порядка (кроме особых точек), dy/dx имеет вполне определенное значение. В особых точках (ОТ) dy/dx = 0/0, т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями dy/dx.

ОТ классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки.

Если ОТ окружена эллипсами (рис. 16.12, д), то ее называют ОТ типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения.

Если ОТ окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом (рис. 16.12, е); ей соответствуют комплексносопряженные корни с отрицательной действительной частью.

Если ОТ окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (рис. 16.12, ж); ей соответствуют комплексносопряженные корни с положительной действительной частью.

Если корни отрицательные и действительные, то ОТ называют устойчивым узлом (рис. 16.12, з). При положительных действительных корнях получают ОТ типа неустойчивого узла (рис. 16.12, и). Когда один корень положителен, а другой отрицателен, имеем ОТ типа седло (рис. 16.12, к).

Рассмотрим переходный процесс в схеме на рис. 16.13, а, вызываемый замыканием ключа при нулевых начальных условиях: Е = 1 В; R = = 1 Om;L = 1 Гн; С = 1 Ф.

Рис. 16.13.

Построим семейство изоклин для напряжения на конденсаторе и_с. Определим положение и тип ОТ. Построим фазовую траекторию переходного процесса.

В уравнении цепи.

du_r d dy dx dy.

заменим u_c на x, —— на у, —у на ——= у— и учтем, что L = R = С =

dt dt dx dt dx

= E= 1.

dy

Решим уравнение y— + у + x = 1 относительно у и dy/dx: dx

Из уравнения (16.97) следует, что координаты особой точки у = О, х = 1. Последовательно придавая dy/dx значения 0, 1, 2, …, -1, -2, строим семейство изоклин (рис. 16.13, б). Все изоклины проходят через ОТ и представляют собой прямые линии (цепь линейна). Масштабы по осям х и у приняты одинаковыми. Черточки на каждой изоклине характеризуют значение dy/dx для нее.

Так как х (0) = п_с(0) = 0 и у (0) = 1 = 0, то к началу процесса изо;

V dt J₀

бражающая точка находится в начале координат. В установившемся режиме х = 1 и у = 0.

Для построения интегральной кривой из исходной точки х = у = О проводим два луча до пересечения с изоклиной dy/cbc = 1 в точках тип. Первый луч соответствует значению dy/chc = °° той изоклины, с которой начинается движение, второй — значению dy/chc = 1 следующей изоклины, на которую точка перейдет. Делим расстояние тп пополам и проводим через исходную и полученную точки плавную кривую — кусочек фазовой траектории. Продолжаем аналитический процесс далее и строим всю фазовую траекторию в виде свертывающейся спирали.

ОТ в примере является устойчивым фокусом. Время в явном виде на фазовой плоскости не отражено.

dx

Временные зависимости х =/(t) по фазовой траектории у = — = ф (х).

dt

получают по формуле.

гдех₀ — начальное значение, ах — текущее. В окрестности точки пересечения кривой с осью абсцисс подынтегральное выражение стремится к бесконечности. Чтобы избежать планиметрирования площади под кривой, уходящей в бесконечность при ф (х) —> 0, подсчет времени At на этом участке производят по средней скорости At = Ах/ф_ср(х).

Пример 166.

Рассмотрим колебательный процесс в схеме на рис. 16.14, а. В этой схеме 1 = 1 Гн; С = 1/3 Ф, ВАХ нелинейного резистора i +j =f (u + U_k) изображена на рис. 16.14, б. Ток источника постоянного тока J = 1 А. ВАХ относительно переменных составляющих тока i и напряжения и на резисторе получена переносом начала координат в точку J = 7 А. Эта ВАХ состоит из трех участков. На участке I и = -i (| i < 3), на участке II и = 3i — 12 (i > 3), на участке III и = = 3i + 12 (i > 3).

Рис. 16.14.

Обозначим переменную составляющую заряда конденсатора q — х. Учтем, что сумма падений напряжений для переменных составляющих.

ток.

Подставим соответствующие эквиваленты в (16.98) и запишем уравнение изоклин на каждом из участков: _т Зх на участке I у =-;

1-а тт 12 Зх на участке II у =—-:

3+а 3 + а ттт 12 Зх на участке III у =——.

3+а 3+а В соответствии с этими уравнениями строим на рис. 16.14, в семейство изоклин для каждого из участков. Изоклины являются отрезками прямых. Значения о написаны рядом с соответствующей изоклиной. Жирной линией показан предельный цикл.

В заключение обратим внимание на то, что в большинстве рассмотренных методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях характеристика нелинейного элемента принималась не зависящей от скорости процесса, гистерезисных и других подобных явлений. В тех случаях, когда учет этих явлений необходим, единственная характеристика нелинейного элемента должна быть заменена семейством кривых, учитывающим перечисленные факторы. Для решения задач на переходные процессы с учетом этих факторов может оказаться полезным графоаналитический метод В. Волынкина, предложенный им еще в 1916 г. и рассмотренный им на примере цепи: нелинейная индуктивность, линейный резистор и ЭДС. Этот метод использует графическое описание характеристики нелинейного элемента, подсчет определенного интеграла по формуле трапеций и простые графические построения. Идея метода и дальнейшее его развитие в цепях второго и третьего порядка при наличии в них разнородных нелинейных элементов даны в параграфе 16.3 (но пока с однозначными характеристиками нелинейных элементов). Наличие у каждого или у части нелинейных элементов целого семейства характеристик может быть учтено методом последовательных приближений.

Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте известные вам группы методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях.

• 2. Укажите, в чем положительные и в чем отрицательные стороны расчетов по мгновенным значениям и по огибающим первых гармоник, графоаналитических и аналитических методов.
• 3. Почему метод расчета, основанный на графическом подсчете определенного интеграла, неприменим даже для цепей первого порядка, если вынуждающая сила является функцией времени?
• 4. Почему метод интегрируемой нелинейной аппроксимации не удается применить к электрическим цепям, описываемым уравнениями второго и более высоких порядков?
• 5. Чем физически можно объяснить, что при подключении линейной Я1-цепи к источнику синусоидальной ЭДС максимальное значение тока при переходном процессе не может превысить удвоенного значения амплитуды тока установившегося режима, тогда как при подключении цепи резистор — индуктивность с нелинейной ВАХ к источнику синусоидальной ЭДС это превышение может быть во много раз больше?
• 6. Сформулируйте особенности расчета переходных процессов в нелинейных системах не чисто электрических, например электромеханических.
• 7. На примере цепи с термистором покажите, что бывает полезно подразделить переходный процесс на быстро и на медленно протекающие стадии и рассматривать их раздельно.
• 8. В чем идея метода малого параметра?
• 9. Запишите и прокомментируйте рекуррентное соотношение, являющееся решением нелинейного интегрального уравнения.
• 10. Охарактеризуйте идею метода медленно изменяющихся амплитуд.
• 11. Как расчетным путем учитывают магнитную вязкость при перемагничивании ферритовых сердечников импульсами тока?
• 12. Дайте определение фазовой плоскости, интегральной кривой, фазовой траектории, предельного цикла, изоклины, особой точки.
• 13. По какому признаку классифицируют особые точки?
• 14. Как по фазовой траектории у =/(х) построить временную зависимость х (0?