Оценочные задачи. 
Методы оптимизации в необратимой термодинамике

Пусть задача оптимального управления имеет форму.

при условиях.

Функции/, i = 0, 1, 2, непрерывны по z, и и непрерывно дифференцируемы по х, t. Для простоты будем считать z{t) и и ДО скалярными.

Простейший способ построения задачи, решение которой проще, чем решение исходной (5.58)—(5.60), и позволяет оценить ее значение Г сверху (оценочной задачи), состоит в том, чтобы отбросить уравнение (5.59) и считать переменную z наряду с и₂ управлением в задаче (5.58), (5.60).

Ограничения на z могут быть наложены непосредственно или получены с учетом граничных условий на z и ограничений на и_г, как множество достижимых из заданных граничных точек значений z в силу уравнения (5.59). Для некоторых задач такое «внешнее множество достижимости» V_z(x, 0 может быть легко построено.

Пусть решение оценочной задачи x (t), u₂(t)€V_u, z (t')eV_z найдено, ему соответствует значение критерия оптимальности I > Г. Управление и_г (t) находят по условию.

Если найденное таким образом управление допустимо, то решение оценочной задачи оптимально для исходной задачи. Если же оно не допустимо, то строят такую последовательность допустимых решений исходной задачи, которая стремилась бы к решению оценочной. Если при этом значение критерия оптимальности исходной задачи стремится к I, то она имеет «обобщенное решение» в классе последовательностей, а ее критерий оптимальности на множестве допустимых решений достигает не максимума, а точной верхней грани.

Любое допустимое решение реализует оценку значения задачи снизу 1° < Г. Выбрав допустимое решение, в том или ином смысле близкое к решению оценочной задачи или по принципу «близоруко-оптимального» решения, когда управление выбирают по условию максимума подынтегрального выражения I, а переменные состояния рассчитывают из уравнений связи, можно рассчитывать, что разность 1−1° окажется достаточно малой. В этом случае найденное допустимое решение можно принять в качестве приближенного решения исходной задачи.

Пример 5.4. Рассмотрим в качестве иллюстрации задачу с критерием.

Функция x (t) подчиняется дифференциальному уравнению и ограничениям.

Оценочную задачу получим, отбросив ограничение на управление, а вместе с ним и дифференциальное уравнение. Будем искать x (t) в классе кусочнонепрерывных функций по условию максимума функционала I. Ее решение, очевидно,.

Значение же критерия 1−0.

Чтобы найти допустимое решение, приближающее х, построим на плоскости х, t множество М, в точки которого можно попасть с помощью ограниченного по модулю управления из точек х (0) = 1 их (9) = 2. В области М построим реализуемую траектортю, минимально по модулю отличающуюся от 3c (t) в каждый момент времени. Эта траектория x°(t) проходит по границе М до ее пересечения с x (t) = Vt, затем совпадает с этой линией и, наконец, сходит с нее в точке пересечения с другой границей М. Соответствующее управление u°(t) принимает значения, равные -1, в начале и в конце интервала [0, 9], а для промежуточных значений 0,38 < t < 8,1 оно совпадает с U (.t) = —-j=.

2sjt

Решение той же задачи с использованием необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума совпадает с найденным решением, но его получение куда более трудоемко, так как оно содержит участок особого управления.

Переход к новым переменным состояния

Пусть в задаче (5.58)—(5.60) уравнение (5.59) имеет форму.

управление v не ограничено.

Изложенная выше процедура при этом упрощается. В оценочной задаче z переводят в разряд управлений, функции /₀ и /₂ могут быть не дифференцируемы, а непрерывны по z, соответствующее решению оценочной задачи управление.

За счет замены переменных рассмотренный класс задач можно расширить на задачи, в которых уравнения (5.60) имеют вид.

Для приведения задачи (5.58), (5.63), (5.64) к форме (5.58), (5.59), (5.63) нужно сделать замену переменных у (х, z) так, чтобы скорость изменения переменной у не зависела от v. Скорость изменения у.

Она не зависит от v, если выполнено условие.

которое представляет собой линейное однородное уравнение в частных производных относительно у (х, z). Одним из решений этого уравнения является первый интеграл у₀(х, z) уравнения в обыкновенных производных вида.

Любая непрерывно-дифференцируемая функция оту₀ является решением уравнения (5.66).

Когда у (х, z) найдена, можно исключить из условий задачи х через у и z и переписать задачу в форме.

при условиях.

В этой задаче переменная z может быть переведена в разряд управлений.

Пусть х — вектор и неограниченное управление v линейно входит в правую часть не одного, а нескольких дифференциальных уравнений. В этом случае можно перейти от исходных фазовых координат х (0 к новым переменным состояния у (х, t) так, чтобы скорость одной из составляющих у_х(х, t) линейно зависела от v, а скорости остальных не зависели от v, а зависели бы оту_х. Например,

Выберем новые переменные у₁ (х) иу₂(х) так, чтобы.

Такая замена найдется, если.

В этом случае.

После того как в выражениях (5.71), (5.74) вектор х выражен через у, получим задачу, в которой переменная может быть переведена в разряд управлений. Наложенные на у (х) ограничения нужно выразить через ограничения нах (?).

Пример 5.5. Пусть нужно минимизировать среднее квадратичное значение переменой хр

при условиях.

Сделаем замену при этом.

Переменная у_г может быть переведена в разряд управлений в задаче (5.77), (5.78), в которой ограничения на х определяют множество допустимых значений у.

Пример 5.6. Задача оптимального управления реактором периодического действия с использованием подпитки имеет вид.

Здесь z — объем аппарата; v — расход подпитки; x и s — концентрации реагентов; s₀ — концентрация одного из них в подпитке; и — вектор режимных управлений (температура, pH и др.), фиксированы начальные значения всех переменных состояния, подынтегральное выражение в I представляет собой скорость образования целевого продукта.

Продемонстрируем на этой задаче последовательность использования метода замены переменных:

1-й шаг. Перейдем к переменным у₂(х, z, s) иу₂(х, z, s), скорость изменения которых не зависела бы от v. Условия независимости для каждой из этих переменных имеет одну и ту же форму:

Уравнению (5.80) соответствует система обыкновенных дифференциальных уравнений.

которая имеет два независимых первых интеграла C^z, х, s) и C₂(z, х, s). Решением (5.80) является любая дифференцируемая функция от С_ь С₂. Проще всего принять у! = С₂ иу₂ = С₂, где С₁иС₂ — первые интегралы уравнений

откуда.

2-й шаг. Заменяя в задаче (5.79) хи5 какх = -1/(у₁г), 5 = s₀— l/(y₂z) и расширяя задачу за счет отбрасывания уравнения для z, получаем оценочную задачу меньшей размерности.

управлениями в которой являются z и и. Решение этой задачи, если оно реализуемо, определит решение исходной, а если не реализуемо, то позволит получить верхнюю оценку ее значения Г и даст полезную информацию о характере решения исходной задачи.